סטודנטים יקרים. מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line

Transcript

1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.O-lie הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא. הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי, לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר. אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL ש בילך! בּ זה בּוּל. גוּל

2 תוכן פרק - הסקהסטטיסטית- הקדמה... 4 פרק - מושגים בסיסייםבאמידה... 7 פרק 3 - אמידה נקודתית... 4 אומד חסר הטיה... 4 אומדנראות מקסימלית... קריטריון -MSE תוחלתריבועהטעות שיטת המומנטים אומד חסר הטיה יעילביותר-... MVUE 4 שאלות מסכמות באמידהנקודתית פרק 4 - רווחסמךלתוחלת (ממוצעהאוכלוסייה)... 5 רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה... 5 קביעתגודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה... 6 פרק 5 - רווחסמךלפרופורציה קביעת גודלמדגםבאמידתפרופורציה... 7 פרק 6 - רווח סמךלהפרשפרופורציות פרק 7 - רווחסמךלהפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים כששונויות האוכלוסייה ידועות כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות והמדגמיםבלתי תלויים... 8 פרק 8 - רווחסמךלתוחלת ההפרש במדגם מזווג פרק 9 - רווחסמךלשונותוסטיית תקן פרק 0 - רווחסמך ליחסשוניות... 9 פרק - תרגולמסכםברווחיסמך פרק - בדיקת השערות כללית...0 פרק 3 - בדיקתהשערותעלפרמטרים...0 הקדמה... 0 טעויות בבדיקת השערות...3 פרק 4 - בדיקתהשערותעלתוחלת (ממוצע)...5 כאשר שונות האוכלוסיה ידועה...5 סיכוי לטעויות ועוצמהכאשר שונות האוכלוסייה ידועה...0 קביעתגודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה...7 מובהקות התוצאה ) P-VALUE ( בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה...30 בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה...35 מובהקות התוצאה ) P-VALUE ( כאשר שונות האוכלוסייה לא ידועה הקשר ביןרווחסמךלבדיקתהשערותעלתוחלת פרק 5 - בדיקתהשערותעלפרופורציה...47 התהליך סיכוי לטעויות ועוצמה...5 קביעת גודלמדגם מובהקות התוצאה...59 פרק 6 - בדיקתהשערותעלהפרשפרופורציות...63 פרק 7 - בדיקתהשערותעלהפרשתוחלותבמדגמיםבלתי תלויים...67 כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות...67 כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחיםשהןשוות... 7

3 3 פרק 8 - בדיקתהשערותעלתוחלת ההפרשיםבמדגמים מזווגים (תלויים)...75 בדיקת השערות למדגמים מזווגים...75 פרק 9 - הקשרביןרווחסמך לבדיקתהשערותעלהפרשתוחלות... 8 פרק 0 - מבחני חיבריבוע...85 פרק - מדדיקשר- מדדהקשרהלינארי (פירסון)...88 פרק - מדדיקשר- רגרסיה ליניארית פרק 3 - מדדיקשר- רגרסיה - שונות מוסברת ושונותלא מוסברת...99

4 4 רקע: פרק - הסקה סטטיסטית - הקדמה אוכלוסייה קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית. למשל, חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת הסוכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסוכרת בעולם. מדגם חלק מתוך האוכלוסייה. למשל, אם נדגום באקראי 0 אנשים מתוך חולי הסוכרת אז זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הסוכרת. במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה, היא גדולה מידי, אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית מהמדגם לאוכלוסייה. הדגימה בקורס תהייה דגימה מקרית סיכויי להיכלל במדגם. הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו סטטיסטי גודל המחושב על המדגם. פרמטר גודל המתאר את האוכלוסייה. הסימונים לפרמטר וסטטיסטי הם שונים למשל: ממוצע סטטיסטי (מדגם) פרמטר (אוכלוסייה) µ P X p פרופורציה (שכיחות יחסית) פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם ולכן יש לו התפלגות הנקראת התפלגות הדגימה.

5 5 דוגמה (פתרון בהקלטה): 5% מאזרחי המדינה תומכים בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים. הוחלט לדגום 00 אזרחים ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק. א. ב. ג. ד. ה. ו. מי האוכלוסייה? מה המשתנה? מה הפרמטרים? מהו גודל המדגם? מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם? האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי?

6 6 תרגילים :. מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה 78 עם סטיית תקן של 5. א. מי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו גודל המדגם?. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב "העוגן". נגדיר את xלהיות מספר המקלטים של משפחה אקראית. מתכננים לדגום מאוכלוסיה זו 4 משפחות ולהתבונן בממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה במדגם. מספר המשפחות סך הכול = 000 N מספר מקלטים א. מיהי האוכלוסייה ומהו המשתנה הנחקר? ב. מהו הסטטיסטי שיילקח מהמדגם ומה סימונו? 3. נתון כי 0% מהשכירים במדינה הם אקדמאיים. נבחרו באקראי 0 שכירים באותה אוכלוסייה ומתכננים לפרסם את מספר האקדמאיים שנדגמו. א. מהי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה באוכלוסייה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו הסטטיסטי?

7 7 פרק - מושגים בסיסיים באמידה רקע: כזכור מהמפגש הקודם פרמטר הוא גודל המתאר את האוכלוסייה או התפלגות מסוימת. כמו ממוצע הגבהים בקרב מתגייסים לצה"ל-. µ כמו פרופורציית התומכים בממשלה בקרב אזרחי המדינה - p. בדרך כלל הפרמטרים הם גדלים שאינם ידועים באמת, ולכן מבצעים מדגמים במטרה לאמוד אותם. אין אפשרות לחשב אותם הניסיון הוא בלהעריך כמה הם שווים ככל שניתן. נסמן באופן כללי פרמטר באות θואומד ב- ˆθ. ˆθ הוא סטטיסטי המחושב על המדגם ובאמצעותו נאמוד את θ. שגיאת אמידה: ˆ θ θ - ההפרש בין האומד לאמת(הפרמטר). דוגמה: (פתרון בהקלטה) בכנסת ה- 9 קיבלה מפלגת העבודה 5 מנדטים. בערוץ 0 ברגע סגירת הקלפיות העריכו את מספר המנדטים של המפלגה להיות 7 מנדטים וזאת על סמך תוצאות מדגם של הערוץ. מה הפרמטר בדוגמה זו? מהי טעות האמידה של ערוץ 0? E( ˆ θ) = θ : θ תהיה שווה ל ˆθ התוחלת של יהיה אומד חסר הטיה לθאם ˆθ טעות התקן של אומד היא סטיית התקן שלו, כלומר : σ ( ˆ θ ) = S. E

8 8 להלן פרמטרים מרכזיים והאומדים שלהם: ממוצע האוכלוסייה: µ x x = האומד הנקודתי שלו יהיה : ממוצע המדגם. µ הינו אומר חסר הטיה ל x לכן E(x) µ= σ σ ( x) = = SE כמו כן טעות תקן: פרופורציה באוכלוסייה: p p= ˆ y האומד הנקודתי שלו יהיה: פרופורציה במדגם:. p לכן ˆp הינו אומר חסר הטיה ל E ( pˆ ) = p σ ( Pˆ ) = p ( p) כמו כן טעות התקן: שונות האוכלוסייה: σ ( x ) i x S = האומד הנקודתי שלו יהיה : ולכן σ. הינו אומד חסר הטיה ל S E( S ) = σ ( x ) i x x x S = = i הערה: אומד הוא הנוסחה הכללית לאמידת הפרמטר ואומדן הוא הערך הספציפי שהתקבל במדגם מסוים.

9 9 דוגמה: ) פתרון בהקלטה) נדגמו 0 משפחות בתל אביב ונבדק עבור כל משפחה מספר הילדים שלה. להלן התוצאות שהתקבלו:,,3,,,4,5,,,3 אמדו באמצעות אומדים חסרי הטיה את הפרמטרים הבאים: ממוצע מספר הילדים למשפחה בתל אביב. שונות מספר הילדים למשפחה בתל אביב פרופורציית המשפחות בנות שני ילדים.

10 0 תרגילים: מתוך 500 טירונים נמצאו 0 בעלי שברי הליכה. נתון שהסיכוי שטירון יהיה עם שבר הליכה הוא 0.5. א. מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב. מהי טעות התקן של האומד כשהמדגם בגודל 500? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה?.. לפי נתוני היצרן מקרר צורך בממוצע 400 וואט לשעה עם סטיית תקן של 500 וואט לשעה. במדגם של 5 מקררים של היצרן התקבל ממוצע של א.מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב.מהי טעות התקן של האומד? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה? 34 וואט לשעה. 3. נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל. גובהם נמדד בס"מ. להלן התוצאות שהתקבלו: 77,68,87,77,80,7,9,84,68 ו- 75. א. ב. ג. מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות 80 ס"מ. 0 i = i 4. נדגמו 0 שכירים באקראי. עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים. להלן התוצאות שהתקבלו: 0. i = X i = 50. X = 6 א. אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק. ב. אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק.

11 5. במטרה לאמוד את ממוצע האוכלוסייה. דגמו תצפיות בלתי תלויות מהאוכלוסייה וחישבו את הממוצע שלהם. מהי טעות התקן? א. סטיית התקן של האוכלוסייה. ב. סטיית התקן של ממוצע האוכלוסייה. ג. סטיית התקן של המדגם. ד. סטיית התקן של ממוצע המדגם. 6. משקל הממוצע של אוכלוסייה מסוימת הוא 75 ק"ג עם שונות של. 5 אם יבחרו כל המדגמים האפשריים בגודל 0 מאוכלוסייה זו סטיית התקן של ממוצעי המדגמים תהייה: א. 3 ב..5 ג..58 ד.אין מספיק נתונים לדעת. במדגם מקרי, מתי סכום ריבועי הסטיות מהממוצע, א. כאשר קטן. ב. כאשר תצפיות המדגם אינן בלתי תלויות. ג. כאשר האוכלוסייה אינה מתפלגת נורמאלית., מחולק ב- ד. כאשר מעוניינים באומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ממנה הוצא המדגם. ה. כאשר מעוניינים לחשב את שונות התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם.? i= (x x) i.7 X, X,......, X6 מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת ממוצע µ לא ידוע ושונות.8 = 64. σ טעות התקן של האומד ל- µ היא: א. 6 ב. 8 ג. 4 ד.

12 .9 מהו אומד חסר הטיה? א. ב. ג. ד. אומד שערכו שווה לממוצע התפלגות הדגימה שלו. אומד שערכו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. אומד שממוצע התפלגות הדגימה שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. אומד שהסיכוי שערכו יהיה גבוה מערך הפרמטר באוכלוסייה שווה לסיכוי שיהיה נמוך ממנו.

13 3 פתרונות: שאלה 3 א ב. 64. ג. 0.4 שאלה 4 א. 8. ב. 3.6 שאלה 5 התשובה היא ד. שאלה 6 התשובה היא ג. שאלה 7 התשובה היא ד. שאלה 8 התשובה היא ד. שאלה 9 התשובה היא ג.

14 4 רקע: פרק - 3 אמידה נקודתית אומד חסר הטיה E( ˆ θ) = θ : ˆ θיהיה אומד חסר הטיה ל- θאם התוחלת של θ שווה ל ˆ θתהיה 3 4θ 6θ דוגמה : ) פתרון בהקלטה) המשתנה X הוא בעל פונקציית ההסתברות הבאה: X הסתברות θ X X ו- מעוניינים לאמוד את θעל סמך שתי תצפיות מההתפלגות : X + X. θ הוא אומד מוטה ל- T = א. הראו שהאומד הטיה של אומד היא: E( ˆ θ ) θ, כמובן שלאומד חסר הטיה אין הטיה. ב..T מהי ההטיה של האומד T ג. תקנו את כך שיהיה אומד חסר הטיה. אם יש שני אומדים חסרי הטיה עדיף זה עם השונות היותר קטנה. ד. X T. =.5X האם הוא עדיף על האומד שהצעת בסעיף ג? מוצא האומד הבא : 3 g אם ˆθ אומד חסר הטיה ל- θאז (θ )g ˆ יהיה אומד חסר הטיה עבור ) θ )g רק אם תהיה לינארית.. P( X = 3) ה. מצאו אומד חסר הטיה ל:

15 5 ( x ) i x x x S = = i אומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה: : σ ו. מצאו אומד חסר הטיה לשונות של X. תזכורות חשובות: אם Y = ax + b אזי: σ Y = aσ x V Y a V X ( ) = ( ) E( Y) = ae( X ) + b X,..., X, אם X משתנים מקרים אזי: E( T) = E( X + X X ) = E( X ) + E( X ) E( X ) X,..., X, אם X משתנים מקריים בלתי תלויים בזוגות, אזי: V ( T) = V ( X + X X ) = V ( X ) + V ( X ) V ( X )

16 6 תרגילים: הציון במבחן מסוים של תלמידי כתה ח' הנו משתנה מקרי בעל תוחלת µוסטיית תקן 0. כדי לאמוד את התוחלת אומדים לתוחלת על סמך מדגם זה:. X,..., X 5 שלושה חוקרים הציעו - µ, נלקח מדגם של 5 ציונים. X X 5 T = חוקר א' הציע: 5 X X + X 3 4 T = חוקר ב' הציע: X + X 3 T = חוקר ג' הציע: 3 א. איזה מן האומדים הוא חסר הטיה? ב. הצע תיקון לאומד המוטה כך שיהיה חסר הטיה. ג. במדגם התקבלו הציונים הבאים: 00. 8, 58, 78, 65, חשבו את האומדנים המתקבלים עבור האומדים חסרי ההטיה. ד. איזה מבין שני האומדים חסרי ההטיה עדיף? נמקו.. כדי לאמוד את המשקל הממוצע של הנשים בארה"ב, נבחר מדגם של נשים. נסמן את שונות הגובה ב-. σ הוצעו שני אומדים לממוצע המשקל על סמך מדגם זה: T = i= X i ב. T = i= X i א. ב דקו לגבי כל אומד אם הוא בלתי מוטה. איזה אומד עדיף? נמקו. X כלומר X הינו משתנה מקרי המתפלג בינומית עם פרמטר ) P סיכוי להצלחה B(, p).3 בניסיון בודד) במדגם בגודל. א. פתחו אומד חסר הטיה ל- P. ב. מהו אומד חסר הטיה לסיכוי לכישלון בניסיון בודד. ג. מהו אומד חסר הטיה ל- ד. מצאו אומד חסר הטיה ל-. E( X ) E( X )

17 7 בתיק מניות שתי מניות. מספר המניות שיעלו ביום מסוים הוא משתנה מקרי התלוי בפרמטר פרמטר לא ידוע, θ. 0 θ פונקציית ההסתברות של X מספר המניות שיעלו ביום מסוים: θ θ P( X = 0) = θ P( X = ) = P( X = ) = א. מ צאו אומד בלתי מוטה ל- θ שמתבסס על מספר המניות שיעלו ביום מסוים. ב. מצאו אומד בלתי מוטה ל- θ שמתבסס על מספר המניות שעלו ביום במשך X, X, X 3 (לכל אחד מהם אותה התפלגות כנ"ל והם בלתי שלושה ימים תלויים)..5 התלויה בקרב המטפלות בת"א מספר התינוקות שבטיפולן הוא אחת מהן בפרמטר θבאופן הבא: הסיכוי שמטפלת תטפל בתינוק אחד בלבד הוא 3θ, הסיכוי שמטפלת תטפל ב- תינוקות הוא הסיכוי שמטפלת תטפל ב-, 4θ 3 תינוקות הוא θ. משתנה מיקרי בעל התפלגות במדגם מיקרי של 4 מטפלות מת"א, נמצא כי שתים מהם מטפלות בתינוק אחד בלבד, בשנים ואחת השלושה תינוקות. א. מצא אומד חסר הטיה לפרמטר θ על סמך תצפית בודדת. ב. מצאו אומד חסר הטיה לפרמטר θעל סמך 4 תצפיות. ג. מהו האומדן לפרמטר θעל סמך תוצאות המדגם. ד. מצאו אומד חסר הטיה לסיכוי שלמטפלת בת"א תטפל בתינוק בודד אחד. ה. מצאו אומדים חסרי הטיה לתוחלת ולשונות של מספר התינוקות בטיפול אצל מטפלת מת"א.חשבו אומדנים. 5T 6. קבע אילו מהטענות הבאות נכונות: א. אם T הוא אומד בלתי מוטה עבור פרמטר, θ אז. ב. אם T הוא אומד בלתי מוטה עבור פרמטר, θ אז אומד בלתי מוטה עבור הפרמטר אומד בלתי מוטה עבור הפרמטר 5θ. θ T

18 וT 8 7. במפעל שתי מכונות המייצרות מוצרים. במכונה הראשונה ההסתברות שמכשיר תקין היא, מכונה השנייה ההסתברות שמכשיר תקין היא נסמן ב- א. ב. ג. ד.. p דוגמים 0 מכשירים מהייצור של כל מכונה. את מספר המכשירים התקינים שיוצרו על ידי המכונה הראשונה, המכשירים התקינים שיוצרו על ידי המכונה השנייה. איזה מבין האומדים הבאים אינו אומד חסר הטיה ל- p - מספר Y? p X X 0 Y 0 X + Y 60 X + Y 80 T T ו- 8. יהי אומדים חסרי הטיה ובלתי תלויים לפרמטר θ..t T ו- א. מצא אומד חסר הטיה ל- θהמתבסס על.T - ב. מצא אומד חסר הטייה ל- θ ( θ המתבסס על ) 9. נתון ש X הינו משתנה מקרי עם תוחלת µושונות מאותה אוכלוסיה. א. הראה ש. pi xi i= σ. נדגמו תצפיות בלתי תלויים i= אומד חסר הטייה ל µ כאשר = p ב. נתבונן במכפלת שתי התצפיות הראשונות i. µ X הראה שהוא אומד חסרי הטיה ל- X i=,..., כאשר X N ( µ,) i.0 נתון שהתצפיות הינן בלתי תלויות זו בזו. מצא אומד חסר הטיה ל-. µ

19 9. נתונות תצפיות בלתי תלויות מתוך התפלגות בעלת הצפיפות הבאה: f ( x) = 0 +β x < x< אחרת א. הראה כי האומד β. הנו אומד בלתי מוטה ל 3X ב. מצא את השונות של האומד מהסעיף הקודם.,X X הינם משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים בעל פונקצית הצפיפות,..., X. הבאה: X A 0 x θ f ( x) = אחרת 0 א. בטא את ערכו של A באמצעות θכדי שפונקצית הצפיפות תהיה לגיטימית. ב. מצא אומד חסר הטיה ל- θעל סמך התצפיות.

20 0 שאלה ו- א. פתרונות: T T 3 ב. 3 T ג. = 76.6 T T = 0 T ד. שאלה T ב. שאלה 3 x א. x x ב. ג. שאלה 4 3x 3x א. ב. שאלה 5 x א. ג. 0.5 ה. לשונות 0.97 שאלה 6 א. נכון. ב. לא נכון. שאלה 7 תשובה: ב

21 T T T T T שאלה 8 א. ב. שאלה 9 הוכחה שאלה 0 X שאלה V (3 X ) 3 β ב. = א. שאלה A= θ 3 θ = X ב.

22 אומד נראות מקסימלית רקע להלן נלמד את שיטת הנראות המקסימלית למציאת אומדים. נניח שXמשתנה מקרי בדיד עם פונקצית הסתברות ), xθ, P( כאשר θהפרמטר הבלתי ידוע. יהי X, X,..., X תוצאות מדגם מקרי בגודל הנלקח מאוכלוסייה זו. נבנה את פונקצית ההסתברות המשותפת (פונקצית הדגימה). אם אנו יודעים את תוצאות המדגם ולא את הפרמטר קוראים לפונקציית הנראות שהיא פונקציה של הפרמטר. נגדיר את פונקציית הנראות: = = i= L( θ ) P( x, θ ) P( x, θ )... P( x, θ ) P( x, θ ) i פונקצית הנראות היא ההסתברות לקבל את התצפית הראשונה (כפונקציה של ( θ כפול ההסתברות לקבל את התצפית השנייה, וכולי, כלומר המשמעות של פונקציית הנראות היא ההסתברות לקבל את המדגם שהתקבל, כפונקציה של הפרמטר המבוקש.θ אם מדובר במשתנה רציף נכפיל את פונקציות הצפיפות ולא את פונקציות ההסתברות: = = i= L( θ ) f ( x, θ ) f ( x, θ )... f ( x, θ ) f ( x, θ ) i דוגמה: (פתרון בהקלטה) הסיכוי של שחקן כדורסל לקלוע לסל הוא p (לא ידוע). השחקן זורק כדורים לסל עד שהוא קולע בפעם הראשונה. נניח כי הזריקות בלתי תלויות זו בזו. הכדור נכנס לסל לראשונה בניסיון השלישי. השחקן חוזר על התהליך שוב והפעם הכדור נכנס לסל בניסיון החמישי. מצאו את פונקצית הנראות של p.

23 3 אומד נראות מקסימלית עבור θ הוא האומד θשממקסם את פונקצית הנראות מחפשים את האומד שיגרום לכך שהמדגם המקרי שקבלנו יהיה כמה שיותר סביר. ) ( Lθ, כלומר, אנו שלבים למציאת אומד נראות מקסימלית: לוקחים את פונקציית ההסתברות המשותפת של המדגם( או צפיפות משותפת אם המשתנה רציף). מציבים את תוצאות המדגם ומקבלים את פונקציית הנראות ) פונקציה של הפרמטר הנחקר). מוצאים מקסימום לפונקציית הנראות( לעיתים כדאי להוסיף l כדי להקל על המלאכה). המשך דוגמה: חשבו את אומדן הנראות המקסימלית עבור p. משפט: אם θהוא אומד נראות מקסימלית עבור θ, אזי g( θ) הוא אומד נראות מקסימלית עבור θ) g( בהנחה והפונקציה היא חד-חד ערכית (אינווריאנטיות). המשך דוגמה: מצאו את אומדן נראות מקסימלית לסיכוי של שחקן הכדורסל לקלוע לסל פעמיים ברצף.

24 4 תרגילים: הסיכוי של שחקן לנצח במשחק הוא p (לא ידוע). השחקן משחק במשחק עד אשר הוא מנצח בפעם הראשונה. נתון שהשחקן ניצח לראשונה רק במשחק השני.. א חשבו את פונקצית הנראות של p וציירו גרף שלה. ב. מצאו אומדן נראות מקסימלית עבור p. ג. מצאו אומדן נראות מקסימלית ל- p אם ביום אחד הוא נאלץ לשחק 4 פעמים וביום אחר הוא נאלץ לשחק 5 פעמים עד אשר ניצח. מספר הלקוחות שנכנסים לחנות מסוימת, מתפלג פואסונית עם תוחלת שלλלקוחות ביום.. א. מצאו אומד נראות מקסימלית ל- λ על סמך מספר הלקוחות שנכנסים ביום מסוים. ב. מצאו אומד נראות מקסימלית ל- λעל סמך מספר הלקוחות שנכנסים ב- ימים מסוימים..3 הזמן שלוקח לאדם לחכות בתור מתפלג מעריכית עם פרמטר. λ דגמו 4 אנשים מקריים שחיכו בתור ומדדו את זמני ההמתנה שלהם. התוצאות שהתקבלו בדקות הן : 3,5 7, ו-.3 א. פתחו אומד נראות מקסימלית לפרמטר זה על סמך ב. מהו האומדן לפרמטר? תצפיות כלשהן. משך זמן הכנת שיעורי הבית (בשעות) של בני נוער ביום אחד מתפלג אחיד (θ,0)u. כדי לאמוד את θ, נשאלו ביום מסוים מספר בני נוער כמה שעות הם הכינו שעורי בית באותו יום..4 א. אלעד ב. ג. הכין ביום מסוים שעורי בית במשך שעה שלמה. חשבו את פונקצית הנראות שלθהמתבססת על תצפית זו, וציירו את הגרף שלה. מצאו אומדן נראות מקסימלית ל- θ על סמך התצפית. משכי הכנת שיעורי בית (שעות) של 3 בני נוער היו,3,.5 מקסימלית ל- θעל סמך המדגם הזה. ד. מצאו באופן כללי אומד נראות מקסימלית ל- θעל סמך מדגם של בני נוער. X,..., X. מצאו אומדן נראות

25 5 הגובה של אוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמאלית עם תוחלת ידועה של 70 ס"מ ושונות σלא ידועה..5 א. מצאו אומד נראות מקסימלית עבור השונות על סמך מדגם תצפיות מהאוכלוסייה. X,, X מ ב. נדגמו 5 אנשים בלתי תלויים בעלי הגבהים: , 74, 8, 70 מהו האומדן לשונות הגבהים באוכלוסייה? פתחו אומד נראות מקסימלית לפרמטר P בהתפלגות הבינומית על סמך בגודל בו X הוא מספר ההצלחות במדגם. מדגם.6 X הוא משתנה מקרי בעל פונקצית הצפיפות:.7 θ x θ xe x>, 0 f ( x) = 0, x 0 א. מצאו אומד נראות מקסימלית ל- θעל סמך. X,, X תצפיות בלתי תלויות: ב. מצאו אומד נראות מקסימלית ל- θ. בכד א 0 כדורים שחורים ו 0 לבנים בכד ב 5 כדורים שחורים ו- 5 לבנים. דוגמים באקראי כדור אך אינך יודע מאיזה כד..8 א. מצא אומד נראות מקסימלית לכד שממנו הוצא הכדור על סמך הצבע של הכדור. ב. מהו האומדן אם הצבע הוא שחור? הזמן שלוקח ליוסי לפתור תשבץ מתפלג מעריכית עם תוחלת לא ידועה. נתנו ליוסי לפתור חמישה תשבצים ובממוצע לקח לו 3 דקות לפתור אותם..9 א. מה אומדן הנראות המקסימלית לתוחלת זמן הפתרון של תשבץ על ידי יוסי (אין חובה לפתח). ב. מה אומדן הנראות המקסימלית לסיכוי שייקח לו לפחות חצי שעה לפתור את התשבץ הבא?

26 6 מספר הלקוחות הממתינים בתור במוקד טלפוני הוא משתנה מיקרי X בעל התפלגות.0 התלויה בפרמטר θ באופן הבא: 0 X 4θ + 4θ 4θ 8θ 4θ P(X) בחמישה זמנים שונים שנבחרו באקראי נמצאו: 0, 0, 0, 0, לקוחות ממתינים בתור. א. מצאו אומדן בשיטת הנראות המקסימלית עבור הפרמטר θ על-סמך המדגם הנתון. ב. מצאו אומדן בשיטת הנראות המקסימלית לסיכוי שלא יהיו לקוחות בתור. אדם מחזיק בידו שני מטבעות : מטבע הוגן ומטבע שאינו הוגן שהסיכוי בו לתוצאה עץ הוא 0.. האדם מטיל את אחד המטבעות פעמיים ומודיע לך כמה פעמים הוא קיבל עץ. אתה צריך לנחש איזה מטבע הוא הטיל : את ההוגן או זה שאינו הוגן.. א. מצא אומד בשיטת הנראות המקסימלית לסוג המטבע שהוטל. ב. מהו האומדן אם האדם קיבל פעמיים עץ? מעוניינים לאמוד את אחוז המובטלים באוכלוסייה. דוגמים 50 אקראיים ומתקבל ש 4 מהם מובטלים. אנשים. א. מצא אומדן נראות מקסימלית לשיעור המובטלים באוכלוסייה. ב. מצא אומדן לשיעור העובדים באוכלוסיה ג. מצא אומדן ליחס בין שיעור העובדים לשיעור המובטלים באוכלוסייה.

27 7 3. במשחק מחשב שלוש רמות משחק: ברמה הסיכוי של יוסי לסיים את המשחק הוא 0.9. ברמה הסיכוי של יוסי לסיים את המשחק הוא 0.7. ברמה 3 הסיכוי של יוסי לסיים את המשחק הוא 0.4. יוסי בחר ברמה מסוימת אך אינו יודע איזו רמה הוא בחר. הוא משחק במשחק ברמה שבחר פעמיים. א. הציעו א.נ.מ. לרמה של המשחק שיוסי שיחק על סמך מספר הפעמים שסיים את משחק. ב. אם יוסי סיים את שני המשחקים, מה יהיה האומדן לרמה? ג. מהו א.נ.מ לסיכוי שמתוך שני משחקים הוא יצליח בדיוק משחק אחד? X, X,..., X מתפלגים אחיד בקטע θ] θ, [ מצא אומד נראות מקסימלית לפרמטר.4.θ X, X,..., X מתפלגים בדיד לפי פונקצית ההסתברות הבאה :.5 k k P ( P) k P( X = k) = ( P) K =, X הוכח שא.נ.מ ל- P הינו:

28 8 6. במכשיר חשמלי יש סוללות שפועלות באופן ב"ת זו בזו והוא מפסיק לפעול ברגע שאחת הסוללות מפסיקה לעבוד. הסיכוי של סוללה לתפקד לפחות חודש הוא P. כאשר המכשיר מפסיק לפעול מחליפים את שתי הסוללות שלו. בתחילת הניסוי נלקחו 80 מכשירים כאלה עם סוללות חדשות ולאחר חודש נמצא של 30 מהם עדיין פועלים. א. מצא אומדן נראות מקסימלית עבור P. ב. רשמו את האומד שבו השתמשתם בחלק א' באופן כללי, עבור מדגם של מכשירים שמתוכם נמצאו Y מכשירים שעדיין פועלים לאחר חודש אחד. ג. בהנחה שאורך החיים (בחודשים) של סוללה בודדת הוא מעריכי עם פי צפיפות. t t) f ( עבור > 0 =θe θt מצא א.נ.מ. עבור θהמבוסס על Y. מהו האומדן המתאים מן המדגם הנתון? 7. חיוג אוטומטי של מכשיר טלפון משדר אות אחת לשתי דקות. אם לאחר 0 דקות (0 אותות חיוג) המספר שאליו מטלפנים עדיין תפוס-החיוג האוטמטי נפסק. א. רשמו את פונקציית ההסתברות של המשתנה X- מספר הפעמים שהחייגן האוטומטי מחייג למספר הטלפון המבוקש, אם ההסתברות לקבלת צליל "פנוי" בשידור אחד של אות חיוג הוא P. ב. מתוך ניסיונות חיוג אוטומטי למשרד הרישוי בזמנים שונים במשך 5 ימים, התקבלו התוצאות הבאות : בשני ניסיונות הופסק החיוג האוטומטי ובשאר הניסיונות שבהם הצליח המטלפן להשיג את המספר המבוקש, מספר החיוגים האוטומטיים עד לקבל צליל "פנויי" היו: 5,,,,8,3,7,,6, מצאו אומדן נראות מקסימלית עבור P על סמך התוצאות שהתקבלו.

29 9 פתרונות : שאלה ב ג. שאלה א. X ב. X שאלה 3 X 9 א. ב. שאלה 4 א. ג. 3 ד. X max i= שאלה 5 ( ) x 70 i א. ב. 40. שאלה 6 x שאלה 7 X א. ב. i ( ) X i

30 30 שאלה 8 ב. כד א שאלה 9 א. 3 ב שאלה 0 א ב. 0.8 שאלה ב. הוגן שאלה א ב. 0.9 ג..5 θ 3 X = 0, = X = שאלה 3 א. ב , X = p= X = ג. שאלה 4 max X i שאלה 5 הוכחה

31 3 שאלה 6 א = y p ב. ג שאלה 7 ב. 0.88

32 3 נספח התפלגויות רציפות ההתפלגות פונקציית הצפיפות פונקציית ההתפלגות המצטברת תוחלת שונות הערות אנ"מ b= max( X ) a= mi( X ) i i ( b a) a+ b t a b a f ( x) = b a a x b X U( a, b) ˆ λ = X הזמן עד להתרחשות מאורע מסוים. λ λ e λt f ( x) =λe λx X exp( λ) - λ הוא ממוצע האירועים ביחידת זמן. σ = µ = X ( X i X) i = X µ Z= σ σ µ Ф(t) f ( x µ ) σ ( x) = e πσ X N µ σ (, )

33 33 התפלגויות בדידות ההתפלגות פונקציית ההסתברות תוחלת שונות הערות אנ"מ ( = k) P X ˆ Y P= מספר ההצלחות ב- ניסויי ברנולי ב"ת. p- ההסתברות להצלחה p(-p) p k p k k= 0,,, ( p) k בינומית B(, p) 0 p ˆP = X p p p ( p ) k p k =,,, גיאומטרית מספר הניסויים עד להצלחה הראשונה בסדרת ניסויי ברנולי ב"ת, G( p) 0< p p- ההסתברות להצלחה b= max( X) a= mi( X) i i ( b a+ ) a+ b b a+ K=a,,b אחידה בחירה אקראית של מספר בין aו- b. U( a, b) ˆ λ = X λ λ λ k λ e k! k = 0,,, פואסונית מספר אירועים ביחידת זמן λ- קצב האירועים P( λ) λ > 0

34 34 קריטריון - MSE תוחלת ריבוע הטעות רקע הקריטריון הנפוץ ביותר כדי לבדוק את טיב האומד הוא קריטריון.MSE תוחלת ריבוע טעות האמידה. MSE( ˆ θ) = E( ˆ θ θ ) = V ( ˆ θ) + ( E( ˆ θ) θ) ) θ -V ( ˆ הינה שונות האומד. - E( ˆ θ ) θ הינה ההטיה של האומד. אם T ו- T הינם אומדים לפרמטר θ. האומד העדיף יהיה זה עם MSE קטן יותר כלומר, אם T. עדיף על T MSE( T ) > MSE( T ) θ מוצעים שני אומדים לפרמטר. X U (3, θ ) T 3 = X 3 דוגמה: (הפתרון בהקלטה) נתון משתנה X המתפלג אחיד רציף באופן הבא: T = X על סמך תצפית בודדת 3 איזה אומד עדיף לאמידת הפרמטר θ? ו-

35 35 תרגילים : מעוניינים לאמוד את התוחלת של התפלגות מסוימת. מוצעים שני אומדים אפשריים ממוצע של שתי תצפיות וממוצע של שלוש תצפיות. לפי קריטריון תוחלת ריבוע הטעות (MSE) איזה אומד עדיף? הסבירו.. בעיר מסוימת בשוויץ בכל θ דקות רכבת מגיעה לתחנה מסוימת. דוד מגיע לתחנה בזמן אקראי ומודד את זמן ההמתנה לרכבת X.. א. ב. ג. הצע אומד חסר הטיה ל- θעל סמך X. סטטיסטיקאי הציע לאמוד את θעל סמך האומד: איזה אומד מבין האומדים של סעיף א או ב עדיף?.5X האם האומד הנ"ל מוטה? 3. חוקר מעוניין לאמוד את הסיכוי לחלות במחלת השפעת בחורף ) להלן הפרמטר P). הוא דוגם חמישה אנשים בריאים ומתבונן בסטטיסטי X מספר האנשים שחלו בשפעת בחורף. הוא מתלבט בין שני אומדים : X + ו- = T 7 T = X 5 א. מי מבין האומדים הללו הוא חסר הטיה? ב. מי מבין האומדים עדיף אם 0.5=P? ג. מי מבין האומדים עדיף אם?P=0. 4. מספר השריפות המתרחשות בחודש אוקטובר בארץ מתפלג פואסונית עם תוחלת λ. נלקח מדגם של 0 חודשי אוקטובר. להלן שני אומדים אפשריים: 0 X = ˆλ 0 = i i ˆ 5 0 X + i i= i= 6 λ = 0 X i i. מספר השריפות בחודש אוקטובר ה- = X i איזה מהאומדים עדיף לצורך אמידת הפרמטר λ? E( ˆ θ θ ) = V ( ˆ θ ) + ( E( ˆ θ) θ) 5. הוכח ש:

36 36 פתרונות : שאלה זה עם השלוש תצפיות. שאלה א. x ג. סעיף ב שאלה 3 T T א. ב. T ג. שאלה 5 הוכחה

37 37 רקע: מומנט מסדר ראשון של משתנה X מוגדר להיות : מומנט מסדר שני של משתנה X מוגדר להיות : באופן כללי, מומנט מסדר r מוגדר להיות: שיטת המומנטים E( X ) E( X ) E( X r ) מומנט מסדר ראשון של תצפיות בלתי תלויות מאותה התפלגות מוגדר להיות : מומנט מסדר ראשון של המדגם. מומנט מסדר שני של תצפיות בלתי תלויות מאותה התפלגות מוגדר להיות : מסדר שני של המדגם. - זהו X i X i באופן כללי, מומנט מסדר r של תצפיות בלתי תלויות מאותה התפלגות מוגדר להיות זהו מומנט ה- r של המדגם. השיטה : משווים את המומנט המתאים של ההתפלגות לפי המומנט המתאים של המדגם. -זהו המומנט - r X i דוגמה: (פתרון בהקלטה) נגיד שמספר הפעמים שאדם מתעטש ביום מתפלג פואסונית על ידי פרמטר ) λ קצב ההתעטשויות ביום). רוצים לאמוד את λ בשיטת המומנטים.

38 38 תרגילים: a לערך המכסימלי 0 מצא אומד לערך מינימלי a מתפלג אחיד רציף מהערך המינימלי X לפי שיטת המומנטים על סמך תצפיות מההתפלגות.. דוגמים תצפיות בלתי תלויות מתוך התפלגות נורמאלית אשר תוחלתה היא µ והשונות. שלה היא σ מצא אומדים לפרמטרים אלה לפי שיטת המומנטים. אדם מטיל מטבע רגיל פעמים. יש לאמוד את מספר הפעמים שהוא מטיל את המטבע וזאת על סמך - X מספר העצים שהוא קיבל..3 א. מצא אומד בשיטת המומנטים ל- על סמך X בודד. ב. מצא אומד בשיטת המומנטים ל- על סמך חזרה של m פעמים על אותו תהליך בו מטילים את המטבע ההוגן פעמים. ג. מהו האומדן אם האדם חזר על התהליך שלוש פעמים : פעם אחת קיבל 5 עצים, בפעם השנייה הוא קיבל 4 עצים ובפעם השלישית הוא קיבל 7 עצים. נתון ש תצפיות. סמך מדגם של מצא אומד בשיטת המומנטים לפרמטר λעל X i exp( (λ.4 5. נתונה פונקצית הצפיפות הבאה: f ( x) = 0 θ θ X 0< x< אחרת א. בטא את ב. מצא אומד ל-.θ כפונקציה של הפרמטר E( X ) θעל פי שיטת המומנטים.

39 39 הזמן בדקות להכנת לחם במאפייה מתפלג באופן הבא : ) σ N,0) X i.6 במדגם של הכנת ארבעה לחמים התקבלו התוצאות הבאות: א. אמוד את ב. מצא את האומדן ל. המומנטים על סמך מדגם בגודל σבשיטת σ. מה הבעייתיות בתשובה?. 4,6,0,5

40 40 פתרונות : שאלה ( X 0) שאלה 3 X X 0 3 א. ב. ג. שאלה 4 X שאלה 5 θ θ+ X X א. ב. X i שאלה 6 א. 00 ב

41 4 אומד חסר הטיה יעיל ביותר - MVUE (Miimum- variace ubiased estimator) רקע: Tיהיה MVUE אם מתקיים ש Tאומד חסר הטיה ל- θ,ובנוסף מתקיים ש: ) Vלכל T) V ( ˆ θ) ˆθ חסר הטיה אחר. דוגמה: (פתרון בהקלטה) לרשת חנויות ישנם שני סניפים. מספר הלקוחות הנכנסים לכל סניף ביום מתפלג פואסונית עם קצב של λבסניף Aוקצב של λ בסניף B. נדגמו ימים מכל סניף ונבדק בכל יום:.i. j X i -מספר הלקוחות שנכנסו לסניף Aביום Y -מספר j הלקוחות שנכנסו לסניף Bביום. α X+ על מנת לאמוד את λ מוצע האומד: βy א. מה התנאי שצריך להתקיים על αו- βכדי שהאומד יהיה חסר הטיה? ב. מה צריך להיות αו- β כדי שהאומד יהיה גם בעל שונות מינימלית?

42 4 תרגילים: - וT θ. אומדים חסרי הטיה ובלתי תלויים לפרמטר Tהינם כמו כן נגדיר : T = at + bt. א. מה צריך להיות התנאי על a ו- bכדי ש- Tיהיה אומד חסר הטיה? T ב. וσ וT הטיה ל בהתאמה. מצאו את a ו- b כך ש- T יהיה אומד חסר - σ הם השונויות של θ ובעל שונות מינימלית. במפעל 3 מכונות המייצרות את אותו חלק. תוחלת הקוטר של החלקים המיוצרים בכל מכונה זהה אומנם השונויות של כל מכונה שונות ומקיימות: σ 3 = 3σ חלקים מכל מכונה ולחשב את ממוצע הקוטר המתקבל. σ = σ הוחלט לדגום X i יהי - יהיה הממוצע המתקבל במכונה. i W האומד לתוחלת קוטר החלקים המיוצרים על ידי מכונה כלשהי. 3 = ai Xi i= א. מה התנאי שצריך להתקיים על המשקלים ב. נניח ש a i כדי שהאומד המוצע יהיה בלתי מוטה??MVUE מה במקרה זה המשקלים המביאים את האומד להיות. a = a.

43 43 פתרונות : σ b= σ σ +, שאלה : א. b= +a σ a= σ σ + 3 ai i= ב. שאלה : א. = a = a = 0.4 ב. a = 0. 3

44 44 שאלות מסכמות באמידה נקודתית תרגילים: במפעל מייצרים מוצרים בשלוש מכונות שונות ובלתי תלויות. במכונה הראשונה הסיכוי שמוצר יהיה תקין הוא, P במכונה השנייה ההסתברות שמוצר יהיה תקין הוא הסיכוי הוא P ובמכונה השלישית. P דוגמים 0 מוצרים מכל מכונה. נסמן ב- X את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה א. נסמן ב- Y את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה השנייה וב- Z את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה השלישית.. א. ב. מהם הערכים האפשריים של הפרמטר P? מצאו אומד בלתי מוטה עבור הפרמטר P על סמך X ו- Z. ג. אם התקבל ש- P? מהו אומדן נראות מקסימלית ל- 6=X, 3=Y א. מספר תאונות הדרכים בקטע כביש א' מתפלג פואסונית עם קצב של λ תאונות בחודש. מספר תאונות הדרכים בקטע כביש ב' מתפלג פואסונית עם קצב של λ תאונות בחודש. הוחלט לספור את מספר התאונות בחודש בכל אחד מקטעי הכביש. נסמן ב- X את מספר התאונות בחודש בקטע א' ו ב- Y בקטע ב'. מצאו אומד נראות מקסימלית לפרמטר λ על סמך X ו- Y.. ב. ג. מצאו אומד נראות מקסימלית לסיכוי שבקטע כביש א תהיה לפחות תאונה אחת בחודש? האם האומד שמצאת בסעיף א הוא חסר הטיה ל- λ? זמן הייצור של מוצר מסוים בתהליך ייצור מתפלג נורמאלית עם תוחלת ושונות שאינן ידועות. א. הציעו אומדים חסרי הטיה לתוחלת והשונות של זמן הייצור של המוצר..3 ב. ג. ד. הציעו אומדי נראות מקסימלית לתוחלת ולשונות של זמן הייצור של המוצר. הציעו אומד נראות מקכסימלית לריבוע התוחלת של זמן הייצור. האם האומד מהסעיף הקודם הוא גם חסר הטיה?

45 45 בקזינו משחק בו 4 תאים ממוספרים מ עד. 4 מפעיל המשחק שם כסף באחד מארבעת התאים והאדם המשתתף צריך לנחש באיזה תא הכסף מוחבא. מפעיל הקזינו מודיע שהסיכוי להחביא את הכסף בכל אחד משלושת התאים הראשונים שווה אך לא בהכרח שווה לסיכוי להחביא אותו בתא הרביעי..4 א. יש לאמוד את הסיכוי להחביא את הכסף בתא הראשון: P. מצא את תחום ההגדרה של הפרמטר P. יעל שיחקה את המשחק 3 האחרות בתא מספר. פעמים וקיבלה שפעם אחת הכסף הוחבא בתא מספר ובפעמים ב. מצאו אומדן ל- P על סמך התוצאות הללו בשיטת הנראות המקסימלית. ג. מצאו אומד חסר הטיה ל- P מהו האומדן לפי התוצאות של יעל? 4 ד. מצאו אומדן חסר הטיה ונראות מקסימלית לסיכוי שהכסף יוחבא בתא מספר סמך התוצאות של יעל. על X, X... X מדגם מקרי מתוך ההתפלגות הבאה:, 5. יהי θ θ x f ( x) =, λ λ 0, 0< x< λ, θ > 0 else א. מצא אח"ה ל - λ (כאשר θ קבוע ידוע). ב. מצא אנ"מ ל ג. מצא אנ"מ ל - θ (כאשר λ קבוע ידוע). - λ (כאשר θ קבוע ידוע). X -משך זמן הפרסומות בערוץ מתפלג אחיד רציף בתחום (0, θ).6 Y -משך זמן הפרסומות בערוץ 0 מתפלג אחיד רציף בתחום (0, θ) א. מצא אומד חסר הטיה ל- θהמשתמש במשך זמן אקראי של פרסומת בודדת בערוץ ופרסומת בודדת בערוץ 0. ב. מוצע האומד +X T, = האם האומד הנ"ל הוא חסר הטיה? 0.5Y ג. איזה אומד יותר עדיף זה של סעיף א או זה של סעיף ב? ד. מצא אומד נראות מקסימלית ל- θעל סמך.Y-וX

46 46. θ בלתי תלויות מהתפלגויות אחידות רציפות התלויות בפרמטר ( X, X.7 נדגמו תצפיות ) X ~ U (0, θ) ; X ~ U(0, aθ ) ידוע כי (כאשר a קבוע ידוע וחיובי). א. ב. ג. מצא אנ"מ ל - θ על סמך התצפיות הנ"ל. חשב את תוחלת ושונות האנ"מ מסעיף א'. האם האנ"מ מוטה? מצא אח"ה ל - θעל סמך סכומן של התצפיות הנ"ל. מהי שונותו?

47 47 פתרונות: שאלה : 0 P א. 0.5 ג שאלה : x+ y 3 א. ג. כן שאלה 4: 0 P 3 א. 3 ב. ג

48 48 שאלה 5: ˆ θ + א. אח"ה יהיה λ = x θ ב. ˆ θ = lλ i= l x i ˆ λ = X max ג. שאלה 7: θˆ = max X, X a א. E V ( ˆ θ) = θ 3 ( ˆ θ) = θ 8 ב. ~ θ = + a ( X + X ) ג.

49 49 נספח : אומדי נראות מכסימלית ואומדים חסרי הטיה בהתפלגויות השונות מודל בינומי. X ( ) ~ B, נתון מדגם של משתנה בינומי p pˆ = X א.נ.מ עבור p הוא והוא גם א.ח.ה מודל אחיד (בדיד) ( ) X ~ U, N בלתי-תלויים בזוגות. i X, X,..., X נתון מדגם של משתנים אחידים { X },..., max N ˆ = ואינו א.ח.ה X א.נ.מ עבור N הוא X i בלתי-תלויים בזוגות. ~ P( λ) X, X,..., מודל פואסוני X נתון מדגם א.נ.מ עבור λ הוא של משתנים פואסוניים λוגם א.ח.ה = X מודל גיאומטרי X i בלתי-תלויים בזוגות. ~ G( p) X, X,..., X נתון מדגם של משתנים גיאומטריים X והנו א.ח.ה. p pˆ = X א.נ.מ עבור p הוא אינו א.ח.ה. וא.נ.מ עבור התוחלת הוא

50 50 X i בלתי-תלויים בזוגות. ( µ, ) ~ N σ X, X,..., X מודל נורמלי נתון מדגם א.נ.מ עבור µ הוא של משתנים נורמליים µ = X (אומד חסר-הטייה) σ = σ (אומד מוטה!!!) = i = ( X i µ ) ( X i X) i = כאשר µידוע א.נ.מ עבור σ הוא כאשר µ לא-ידוע א.נ.מ עבור σ הוא σ = i = אומד חסר-הטיה עבור σ: ( X i µ ) כאשר µידוע. S = ( X i X) i = כאשר µ לא-ידוע X i בלתי-תלויים בזוגות. ~ expθ ( ) X, X,..., X מודל מעריכי נתון מדגם של משתנים מעריכיים X א.ח.ה. = X א.נ.מ עבור θ הוא θ -מהווה אומד מוטה. וא.נ.מ עבור התוחלת הוא θ X i בלתי-תלויים בזוגות. ~ U( 0,θ) X, X,..., מודל אחיד (רציף) נתון מדגם X θ א.נ.מ עבור של משתנים אחידים אינו א.ח.ה θ = max { X,..., } הוא X

51 5 בכל התפלגות: µ = X א ח.ה. עבור µ הוא אומד חסר-הטיה עבור σ: σ = i = ( X i µ ) כאשר µידוע S = ( X i X) i = כאשר µ לא-ידוע

52 5 רקע: פרק - 4 רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה ממוצע המדגם הוא אומד לממוצע האוכלוסייה, אך לא באמת ניתן להבין ממנו על גודלו של ממוצע האוכלוסייה. ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בדיוק כמו הממוצע האמתי הוא אפסי. מה שנהוג לעשות כדי לאמוד את ממוצע האוכלוסייה זה לבנות רווח סמך. נבנה מרווח בטחון שהסיכוי שהפרמטר µ ייכלל בתוכו הוא α-. α- : נקרא רמת בטחון או רמת סמך. כך ש: P( A µ B) = α A- גבול התחתון של רווח הסמך B- הגבול העליון של רווח הסמך L= B A - אורך רווח הסמך דוגמה : (פתרון בהקלטה) חוקר דגם 5 חיילים שנבחנו במבחן הפסיכומטרי. הוא בנה רווח סמך לממוצע הציונים במבחן הפסיכומטרי בקרב אוכלוסיית החיילים וקיבל בין 50 ל רווח הסמך נבנה ברמת סמך של.95% מהי אוכלוסיית המחקר? מה המשתנה באוכלוסייה? מה הפרמטר שהחוקר רצה לאמוד? מהו רווח הסמך? מה אורך רווח הסמך? מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?

53 53 בפרק זה נרצה לבנות רווח סמך לתוחלת ) µ ( במקרה ש σ (שונות האוכלוסייה) ידועה µ הפרמטר שנרצה לאמוד: האומד נקודתי: x התנאים לבניית רווח הסמך: או 30 X ~ N σ (שונות האוכלוסייה) ידועה הנוסחה לרווח הסמך: σ x± Z α דוגמה : (פתרון בהקלטה ( על פי נתוני היצרן אורך חיי סוללה מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של שעה. מעוניינים לאמוד את תוחלת חיי סוללה. נדגמו באקראי 4 סוללות, אורך החיים הממוצע שהתקבל הוא 3.5 שעות. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת אורך חיי סוללה.

54 54 שגיאת האמידה המקסימלית: σ ε = Z α ε -נותן את שגיאת האמידה המקסימלית, דבר שנקרא גם טעות סטטיסטית, טעות דגימה. דוגמה : (פתרון בהקלטה ( בהמשך לשאלה עם הסוללות. מה ניתן להגיד בביטחון של 95% על שגיאת האמידה? קשרים מתמטיים ברווח הסמך:. L= ε אורך רווח הסמך הוא פעמיים שגיאת האמידה המקסימלית : X A+ B ממוצע המדגם נופל תמיד באמצע רווח הסמך: = ככל שמספר התצפיות () גבוה יותר, כך יש יותר אינפורמציה ולכן האומד יותר מדויק, ולכן נקבל רווח סמך יותר קצר. ככל שרמת הביטחון ( α ) גבוהה יותר כך z α יותר גבוה, ורווח הסמך יותר ארוך.

55 55 תרגילים : חוקר התעניין לאמוד את השכר הממוצע במשק. על סמך מדגם הוא קבע שבביטחון של -95% כי השכר הממוצע במשק נע בין 900 ל א. מי האוכלוסייה במחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר שאותו רוצים לאמוד? ד. מה רווח הסמך לפרמטר? ה. מהי רמת הסמך לפרמטר? ו. מה אורך רווח הסמך? ז. מה הסיכוי שטעות הדגימה תעלה על? 300. מעוניינים לאמוד את התפוקה היומית הממוצעת של מפעל מסוים ברמת סמך של 95%. במדגם אקראי של 00 ימים התקבלה תפוקה ממוצעת 4950 מוצרים ביום. לצורך פתרון הנח שסטיית התקן האמתית ידועה ושווה 50 מוצרים ביום. בנה את רווח הסמך.. מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר. מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 0 שעות. נדגמו 5 מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם היה 30 שעות. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ב. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ג. הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך..3 דגמו 00 עובדים מהמשק הישראלי. השכר הממוצע שלהם היה נניח שסטיית התקן של השכר במשק היא א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לתוחלת השכר במשק. ב. מה ניתן לומר בביטחון של 95% על הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לתוחלת השכר? ג. מה היה צריך להיות גודל המדגם אם הינו רוצים להקטין את רווח הסמך ב 50%? ד. אם היינו מגדילים את גודל המדגם ובונים רווח סמך באותה רמת סמך האם היה ניתן לטעון בביטחון רב יותר שרווח הסמך מכיל את הפרמטר? בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה. ידוע שסטיית התקן היא 5 והמדגם מתבסס על 00 תצפיות. רווח הסמך שהתקבל הוא (99,05). שחזרו את : א. ממוצע המדגם. ב. ג. שגיאת האמידה המקסימאלית. רמת הסמך..4.5

56 56 זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים. חברת תרופות מעוניינת לחקור אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה. במחקר השתתפו 60 אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את האנטיביוטיקה החדשה. בממוצע הם החלימו לאחר 4 ימים. א. בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של.90% ב. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי 4? הסבירו. ג. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה יותר? הסבירו..6 חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא:. 8 <µ < 9 נתון שסטיית התקן בהתפלגות שווה ל- 0 ושהמדגם מתבסס על 6 תצפיות. התפלגות המשתנה היא נורמאלית. א. מהו ממוצע המדגם? ב. מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה? ג. מה הסיכוי ששגיאת האמידה באמידת ממוצע האוכלוסייה תעלה על? 5.7 חוקר בנה רווח סמך לתוחלת כאשר השונות בהתפלגות ידועה ברמת סמך של 95%. אם החוקר כעת יבנה על סמך אותם נתונים רווח סמך ברמת סמך קטנה מ- 95%, מי מהמשפטים הבאים אינו יהיה נכון. א. אורך רווח הסמך החדש יהיה קטן יותר. ב. גודל המדגם יהיה כעת קטן יותר. ג. המרחק בין ממוצע המדגם לקצות רווח הסמך יהיו קטנים יותר ברווח הסמך החדש. ד. רמת הביטחון לבנות רווח הסמך החדש תהיה קטנה יותר..8 חוקר בנה רווח סמך ל- µוקיבל < 54 µ >48 מה נכון בהכרח: א. 5 = µ ב. = 6 X ג. = 5 X ד. אורך רווח הסמך הינו 3..9 איזה מהגורמים הבאים אינו משפיע על גודלו של רווח בר סמך, כאשר שונות האוכלוסייה ידועה? (בחר בתשובה הנכונה) א.רמת הביטחון. ב. סטיית התקן באוכלוסייה. ג. מספר המשתתפים. ד. סטיית התקן במדגם..0

57 57. חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא:. 63< µ < 83 נתון שסטיית התקן בהתפלגות הייתה ידועה לו ושהמדגם התבסס על 40 תצפיות. א. אם החוקר היה רוצה לבנות רווח סמך באורך 0. כמה תצפיות עליו היה לדגום? ב. רווח הסמך שנבנה על ידי החוקר היה ברמת סמך של 95%. בנה את רווח הסמך שהיה מתקבל ברמת סמך של 98%.. נתון משתנה מקרי רציף מתפלג אחיד : 0.5) + µ. X U ( µ 0.5, נרצה לאמוד i. את. µ מצאו רווח סמך ל- µ ברמת-בטחון של 0.95 אם במדגם של 45 תצפיות התקבל: x = 74 (תזכורת על השונות בהתפלגות אחידה רציפה: ( Var( X ) = i ( b a)

58 58 פתרונות : שאלה < < µ שאלה 3 א. ב. 3.4< µ <36.58 < < µ שאלה 5 א. 0 ב. 3 ג שאלה 6 4.4> א. 3.58< µ ב. יקטן פי ג. גדל שאלה 7 א. 87 ב. 5 ג שאלה 8 א. 39 ב. 5> <µ שאלה 9 התשובה היא : ב שאלה 0 התשובה היא : ג שאלה התשובה היא : ד

59 59 רקע: קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה אם מעוניינים לאמוד את ממוצע האוכלוסייה כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה: σ ברמת סמך של α ושגיאת אמידה שלא תעלה על ε מסוים, נציב בנוסחה הבאה: z ε α σ כדי להציב בנוסחה צריך שהמשתנה הנחקר יתפלג נורמלית או שהמדגם ייצא בגודל של לפחות 30 תצפיות. דוגמה: (פתרון בהקלטה ( חברת תעופה מעוניינת לאמוד את תוחלת משקל המטען של נוסע. נניח שמשקל מטען של נוסע מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ק"ג. כמה נוסעים יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של 98% הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לממוצע האמתי לא יעלה על 0.5 ק"ג? ) תשובה :87 (

60 60 תרגילים:. משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה. מה צריך להיות גודל המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של 98% שאורכו לא יעלה על?. מעוניינים לאמוד את הדופק הממוצע של מתגייסים לצבא. מעוניינים שבביטחון של 95% שגיאת האמידה המרבית תהיה 0.5. נניח שהדופק מתפלג נורמאלית על סטיית תקן של 3 פעימות לדקה. א. כמה מתגייסים יש לדגום? ב. אם ניקח מדגם הגדול פי 4 מהמדגם של סעיף א ונאמוד את הממוצע באותה רמת סמך כיצד הדבר ישפיע על שגיאת האמידה? יהי X משתנה מקרי עם ממוצע μ וסטיית תקן. σ חוקר רוצה לבנות רווח בר סמך ל μ ברמת ביטחון של 0.95 כך שהאורך של הרווח יהיה. 0.5σ מהו גודל המדגם הנדרש?.3

61 6 פתרונות : שאלה 780 שאלה א. 39 ב. הדבר יקטין את εפי. שאלה 3 =6

62 6 רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה רקע: בבואנו לבנות רווח סמך לתוחלת אנו צריכים להתמקד בשני המצבים הבאים: רווח סמך לתוחלת: שונות האוכלוסייה ידועה שונות האוכלוסייה אינה ידועה בפרק זה נעסוק במקרה ששונות האוכלוסייה( ( אינה ידועה לנו.מקרה יותר פרקטי. X התנאי: ~ N או שהמדגם גדול X ± t ( ) α S רווח סמך: S = ( X X) X i X i i= i= = האומד לשונות : התפלגות T: הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא 0. ההתפלגות דומה להתפלגותZרק שהיא יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים. התפלגותTתלויה במושג שנקרא דרגות חופש. דרגות החופש הן.df=- ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה. כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות T שואפת להיות כמו התפלגות Z.

63 63 דוגמה : (פתרון בהקלטה) הזמן שלוקח לפתור שאלה מסוימת בחשבון מתפלג אצל תלמידי כיתות ח' נורמאלית. במטרה לאמוד את תוחלת זמן הפתרון נדגמו 4 תלמידים בכיתה ח'. להלן התוצאות שהתקבלו בדקות: 4.7,5.,4.6,5.3. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע זמן הפתרון לשאלה בקרב תלמידי כיתה ח'. פתרון : < < µ

64 64 תרגילים: מחקר מעוניין לדעת כיצד תרופה מסוימת משפיעה על קצב פעימות הלב. ל- 5 אנשים שנטלו את התרופה מדדו את הדופק והתקבל מספר פעימות לדקה: , 84, 88, 84, הערה: לצורך פתרון הנח שקצב פעימות הלב מתפלג נורמאלית בקירוב. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לתוחלת הדופק של נוטלי התרופה הנ"ל. ב. נתון שהדופק הממוצע ללא לקיחת התרופה הינו 70. לאור זאת, האם בביטחון של 95% התרופה משפיעה על הדופק? ג. בהמשך לסעיף א, אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת ביטחון של 99 % כיצד הדבר היה משפיע על רווח הסמך?. במדגם שנעשה על 5 מתגייסים לצבא האמריקאי התקבל כי : גובה ממוצע של חייל הינו 78 ס"מ עם סטיית תקן 3=S ס"מ. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90 % לתוחלת גובה המתגייסים לצבא האמריקאי. מה יש להניח לצורך פתרון?. אדם מעוניין לאמוד את זמן הנסיעה הממוצע שלו לעבודה. לצורך כך הוא דוגם 5 ימים שזמן הנסיעה בהם בדקות הוא:. 7,34,3,40,30 א. ברמת ביטחון של 95% אמוד את זמן הנסיעה הממוצע. מהי ההנחה הדרושה לצורך פתרון? ב. איך גודל רווח הסמך היה משתנה אם היו דוגמים עוד ימים?.3 ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמאלית. נדגמו 5 מבחנים והתקבל ממוצע ציונים 0 וסטיית תקן מדגמית 3. א. בנו רווח סמך לממוצע הציונים באוכלוסייה ברמת ביטחון של 95%. ב. חזרו על סעיף א' אם סטיית התקן הינה סטיית התקן האמתית של כלל הנבחנים. ג. הסבירו את ההבדלים בין שני הסעיפים הנ"ל i = i נשקלו 60 תינוקות אשר נולדו בשבוע ה- 40 של ההיריון. המשקל נמדד בקילוגרמים. להלן 60 i = X i = התוצאות שהתקבלו: = 95 X לתוחלת משקל תינוק ביום היוולדו.. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95%.5 נדגמו 0 אנשים אקראיים מעל גיל 50. עבור כל אדם נבדק מספר שנות השכלתו. x = 3.8 להלן התוצאות שהתקבלו : S = בנו רווח סמך ברמת סמך של 96% לממוצע ההשכלה של אזרחים מעל גיל 50..6

65 65 שני סטטיסטיקאים בנו רווח בר-סמך לאותו פרמטר µ. לכל אחד מהסטטיסטיקאים מדגם אחר, אך באותו גודל. 0 שניהם קבעו אותה רמת סמך. סטטיסטיקאי א : סטטיסטיקאי ב : = 0 σ הניח חישב לפי המדגם וקיבל S =0 למי משני הסטטיסטיקאים יהיה רווח סמך ארוך א. סטטיסטיקאי א ב. סטטיסטיקאי ב ג. אותו אורך רווח סמך לשני הסטטיסטיקאים. ד. תלוי בתוצאות המדגם של כל סטטיסטיקאי. יותר? ) בחר בתשובה הנכונה ( X ביצעו מדגם בגודל 6 וקיבלו סטיית תקן מדגמית 0. אורך רווח נתון ש : ) σ N ( µ, הסמך שהתקבל הוא: מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?.7.8

66 66 נספח : טבלת התפלגות T p t p P דרגות חופש

67 67 פתרונות: שאלה א. <89.7 µ 79.88< שאלה 4 <07.37 א < µ ב. 07.0> 96.90< µ שאלה 5 < < µ שאלה 8 90%

68 68 רקע: פרק - 5 רווח סמך לפרופורציה מטרה: לאמוד את P פרופורציה באוכלוסייה. האומד הנקודתי: ) Y- מספר ההצלחות שבמדגם ( p= ˆ y pˆ ( pˆ ) pˆ ± Z α רווח הסמך ל p: התנאי לבנות את רווח הסמך הינו מדגם של לפחות 30 תצפיות( לעיתים נותנים תנאי של מספר הצלחות ומספר כשלונות לפחות 5 או לפחות ( 0 pˆ ( pˆ ) האומד לטעות התקן: L= ε Pˆ = A+ B מתקיים ש: דוגמה: (פתרון בהקלטה) במטרה לאמוד את אחוז המובטלים במשק נדגמו 00 אזרחים. מתוכם התקבל ש 4 היו מובטלים.. א. בנו רווח סמך לאחוז המובטלים באוכלוסייה ברמת סמך של 95%. ב. מהו האומד לטעות התקן? פתרון: א. 6.5%>p>7.5% ב..9%

69 69 תרגילים: נדגמו 00 דירות בעיר חיפה. 48 מתוכן נמצאו כבעלות ממ"ד. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאחוז הדירות בחיפה עם ממ"ד. ב. על סמך סעיף א' מה ניתן לומר על שגיאת האמידה המקסימאלית? ג. בהנחה ובחיפה 80 אלף דירות, בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % למספר הדירות בחיפה עם ממ"ד בפועל.. במדגם של 300 אנשי היי-טק התקבל ש- 80 מהם אקדמאים. א. בנו רווח סמך לפרופורציית אקדמאים ברמת סמך של 95% (בקרב אנשי היי-טק). ב. כיצד רווח הסמך של סעיף א היה משתנה אם היינו מקטינים את רמת הסמך? ג. כיצד רווח הסמך היה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם?. במדגם של 400 נהגים התקבל רווח סמך לפרופורציית הנהגים החדשים: א. כמה נהגים במדגם היו נהגים חדשים? ב. מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה? 0.08< p< במסגרת מערכת הבחירות בארה"ב נשאלו 840 אנשים עבור איזה מועמד יצביעו. 50 אנשים ענו כי יצביעו בעד ברק אובמה. בסקר פורסם שתתכן סטייה של ±3% באיזו רמת ביטחון הסקר השתמש? האמת. מתוצאות.4 במדגם של 300 נשים בגילאי נמצא ש- 40 היו נשואות, 80 היו גרושות, 60 רווקות והיתר אלמנות. א. מצאו רווח סמך ברמה של 90% לאחוז הגרושות באוכלוסייה הנחקרת. ב. מצאו רווח סמך ברמה של 99% לסיכוי שבאוכלוסייה הנחקרת תמצא אישה לא נשואה?.5 6. ביצעו מדגם באוכלוסייה. שיעור ההצלחות במדגם היה 0% ורווח הסמך ניבנה ברמת סמך של. 95% אורכו הינו 8.356%. מהו גודל המדגם שנלקח?

70 70 פתרונות: שאלה 3 א. 5 ב שאלה 5 א. 30.9%>p>.5% ב. 60.7%>p>45.9% שאלה 6 00

71 7 רקע: קביעת גודל מדגם באמידת פרופורציה בפרק זה נדון איך קובעים גודל מדגם שבאים לאמוד פרופורציה באוכלוסייה מסוימת: החוקר קובע מראש את רמת הסמך הרצויה: α. החוקר קובע מראש את הטעות הסטטיסטית המרבית שבה הוא מעוניין: ε( או את אורך רווח הסמך). =L - אורך רווח הסמך. ε - טעות אמידה מרבית : המרחק המקסימאלי (הסטייה) בין הפרמטר ) p ( לאומד ) ˆp ). ε. = z ε α pˆ ( pˆ ) ויתעניין לדעת מהו גודל המדגם הרצוי לשם כך. ( ) Z pˆ pˆ α L נקבל ש: הבעיה שאין אנו יודעים את ˆp. : pˆ ( pˆ נתבונן בביטוי ) כיוון שאין לנו ידע מוקדם על ˆp נציב את המקרה השמרני ביותר שממקסם את הביטוי עבור p= ˆ 0.5 z z α α L L

72 7 אך אם תהיה לנו אינפורמציה מוקדמת על הפרופורציה נציב את הערך הקרוב ביותר ל- 0.5 האפשרי. דוגמה: ) פתרון בהקלטה) מעוניינים לאמוד את שיעור האבטלה במשק. האמידה צריכה להתבצע ברמת סמך של 90% ועם שגיאת אמידה שלא תעלה על 4%. א. מהו גודל המדגם המינימאלי שיש לקחת? ב. חזור לסעיף א' אם ידוע שהאבטלה לא אמורה לעלות על 0%. פתרון : א. 43 ב. 7

73 73 תרגילים: הממשלה אומדת מדי חודש את אחוז התמיכה בה. מהו גודל המדגם אשר יש לקחת אם דורשים שהאומדן לא יסטה מהאחוז האמתי באוכלוסייה ביותר מ- 3%, וזאת בביטחון של 95%?. משרד התקשורת מעוניין לדעת מה שיעור בתי האב עם אינטרנט. א. כמה בתי אב יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של 90% אורך רווח הסמך לא יעלה על 8%? ב. חזרו על סעיף א. אם ידעו שלפני חמש שנים ל- 80% מבתי האב היה אינטרנט וכיום יש להניח שיש ליותר אינטרנט.. ערוץ טלוויזיה מעוניין לאמוד את הרייטינג של הערוץ בפריים טיים. המטרה שבביטחון של 95% הסטייה המרבית בין האומד לרייטינג האמתי לא תעלה על 4%. א. כמה מכשירי PEOPLEיש METER להתקין לצורך האמידה? ב. לפי הערכה מוקדמת הרייטינג של הערוץ לא יכול לעלות על 0%. בהנחה ומכשיר כזה עולה 500 ליחידה מה החיסכון הכספי מאינפורמציה זאת?.3 השאלות הבאות מתייחסות לסעיף : 4 א. כמה אזרחים יש לדגום כדי לאמוד את אחוז התמיכה בממשלה עם אורך רווח הסמך שלא עולה על 9% ברמת סמך של 90%? ב. בהנחה ובוצע מדגם שאת גודלו חישבתם בסעיף א והתקבל שאחוז התמיכה בממשלה הנו 4%. בנו רווח סמך לאחוז התמיכה בממשלה ברמת סמך של 95%. ג. על סמך סעיף ב'. האם תקבל את הטענה שמיעוט האוכלוסייה תומך הממשלה?.4 במדגם משרד הבריאות מתכנן לבצע מדגם שמטרתו לבדוק את הסיכוי לחלות בשפעת עם לקיחת חיסון נגד שפעת. הוא מעוניין שבסיכוי של 98% טעות האמידה לא תעלה על 3%. א. כמה מחוסנים יש לדגום? ב. משרד הבריאות ביצע את המדגם שאת גודלו חישבת בסעיף הקודם וקיבל ש 5% מבין אלה שקיבלו חיסון נגד שפעת בכל זאת חלו במשך החורף בשפעת. בנו ברמת סמך של 98% את הסיכוי לחלות בחורף בשפעת עם לקיחת חיסון נגד שפעת. ג. בהמשך לסעיף הקודם. מהי טעות האמידה המרבית בביטחון של? 98% מדוע הוא קטן מ 3%?.5

74 74 פתרונות: שאלה 068 שאלה 3 א. 60 ב

75 75 פרק - 6 רווח סמך להפרש פרופורציות : p p הפרש פרופורציות בין שתי אוכלוסיות שונות. רקע: המטרה: לאמוד את pˆ p ˆ האומד הנקודתי: התנאי לבניית רווח הסמך: כל מדגם מעל 30 או לבדוק שמספר ההצלחות ומספר הכישלונות בכל מדגם לפחות 5 בכל מדגם (יש כאלה שבודקים לפחות 0). רווח סמך: pˆ ( pˆ ˆ ˆ ) p( p ) ( pˆ ˆ p ) ± Z + α רק שאפס נופל בתחומי רווח הסמך להפרש הפרופורציה נאמר שלא ניתן לקבוע שקיים הבדל מובהק בין הפרופורציות באוכלוסיות. דוגמה: (פתרון בהקלטה) במטרה להשוות בין שתי תרופות נדגמו 00 איש שלקחו תרופה x. מתוכם 80 טענו שהתרופה עזרה להם. כמו כן נלקחו 300 איש שלקחו את תרופה y. מתוכם 50 טענו שהתרופה עזרה להם. בנו רווח סמך להפרש אחוזי ההצלחה של התרופות ברמת סמך של 95%. מה ניתן לומר על סמך רווח הסמך על ההבדלים בין התרופות? ( 33%,47%) פתרון :

76 76 תרגילים: מתוך 50 נשים שנדגמו באקראי 30% תמכו בהצעת חוק מסוימת. מתוך 00 גברים שנדגמו באקראי 5% תמכו בהצעת החוק. א. בנו רווח סמך לפער בין אחוזי התמיכה של הנשים לעומת הגברים ברמת סמך של 96%. ב. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאחוז התמיכה בהצעת החוק.. במחקר רפואי השתתפו 00 אנשים הסובלים מכאבים כרוניים. הם חולקו באקראי ל- קבוצות שוות בגודלן. קבוצה קיבלה את תרופה A וקבוצה שנייה קיבלה את תרופה B. בקרב לוקחי תרופה 90 A טענו שמצבם השתפר. בקרב לוקחי תרופה 70 B טענו שמצבם השתפר. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% להפרש ב. האם על סמך סעיף א ניתן לקבוע בין שיעורי ההצלחה של שתי התרופות. שקיים הבדל בין התרופות מבחינת שיעורי ההצלחה?. נדגמו 00 משפחות מגוש דן. ל- 70% מתוכן מכשיר DVD בבית. נדגמו 300 משפחות מאזור הצפון ל- 65% מתוכן מכשיר DVD בבית. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 98% לפרופורציות המשפחות בגוש דן עם DVDבבית. ב. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% להפרש בין פרופורציות המשפחות בגוש דן עם DVD לבין פרופורציות המשפחות בצפון עם.DVD.3

77 77 פתרונות: שאלה 0.093< PA PB א. < שאלה < p< א

78 78 פרק - 7 רווח סמך להפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים רקע: כששונויות האוכלוסייה ידועות, כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי µ µ מטרה: לאמוד את פער התוחלות: האוכלוסיות. האומד נקודתי: x x התנאים לבניית רווח הסמך: σידועות.,σ., > X, X או 30 ~ N. 3. שני מדגמים בלתי תלויים. רווח סמך: σ σ ( x x ) ± Z + α אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של α לא קיים הבדל בין התוחלות. דוגמה: (פתרון בהקלטה) נדגמו 00 תושבים מאזור aוהמשכורת הממוצעת הייתה שם. 900 כמו כן נדגמו 0 תושבים מאזור bוממוצע המשכורות שהתקבל שם לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של המשכורות באוכלוסיית שני האזורים היא. 800 אמדו ברמת סמך של 90% את הפרש השכר הממוצע בין אזור aלאזור. b

79 79 תרגילים: מעוניינים לבדוק האם קיים הבדל בין ממוצע ציוני הפסיכומטרי של חיילים לממוצע ציוני הפסיכומטרי של תלמידי תיכון. ידוע שציוני הפסיכומטרי מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן 00. במדגם של 6 נבחנים חיילים התקבל ממוצע 543. במדגם של 0 תלמידי תיכון התקבל ממוצע 508. בנו רווח סמך לפער תוחלות הציונים בין חיילים לתלמידי תיכון ברמת סמך של 90%. מה ניתן להסיק מרווח סמך זה?. ציוני. I.Qמתוכננים כך שיתפלגו נורמאלית עם סטיית תקן של 5. במדגם של 0 נבחנים ישראלים התקבל ממוצע ציונים 04. במדגם של 3 נבחנים אמריקאיים התקבל ממוצע ציונים 99. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לפער בין ישראל לארה"ב בממוצע הציונים במבחן ה- IQ. ב. האם קיים הבדל בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע הציונים?..3 חברה להנדסת בניין מעוניינת להשוות ברמת הקשיות של שני סוגי ברגים. ידוע שרמת הקשיות של ברגים מתפלגת נורמלית עם סטיית תקן של 4 יחידות. במדגם של 5 ברגים מסוג א' התקבל רמת קשיות ממוצעת של 8 יחידות ובמדגם של ברגים מסוג ב' התקבל רמת קשיות ממוצעת של. 5 עבור אילו רמות בטחון יקבע שאין הבדל בין שני סוגי הברגים מבחינת ממוצע רמת הקשיות שלהם?

80 80 פתרונות : שאלה (-0,90) שאלה 3: רמות בטחון הגבוהות מ:

81 8 רקע: כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות והמדגמים בלתי תלויים, כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי µ µ מטרה: לאמוד את פער התוחלות: האוכלוסיות. x x האומד נקודתי: התנאים לבניית רווח הסמך: σ = σ.. X, X ~ N. 3. מדגמים בלתי תלויים. השונות המשוקללת : כיוון שאנו מניחים שבין שתי האוכלוסיות השונויות שוות אנו אומדים את השונות הזו על ידי שקלול שתי השונויות של שני המדגמים על ידי הנוסחה הבאה: S p = ( ) + ( ) S S + d. f = + דרגות החופש : רווח סמך: + p p ± α + S S ( x x ) t אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של α לא קיים הבדל בין התוחלות.

82 8 דוגמה: (פתרון בהקלטה ( מחקר מעוניין לבדוק האם קיים הבדל בין תל אביב לבאר שבע מבחינת ההכנסה הממוצעת של אקדמאים.להלן תוצאות המדגם שנעשה: באר שבע תל אביב 0 0 מספר האקדמאים 9500,000 ממוצע הכנסות של אקדמאים סטיית התקן של הכנסות אקדמאים בנו רווח סמך ברמת ביטחון של 90% להפרש תוחלות ההכנסה בשני האזורים. הניחו שהשכר מתפלג נורמלית עם אותה שונות בכל אחד מהאזורים. פתרון : (357,643)

83 83 תרגילים: נדגמו 5 ישראלים ו- 5 אמריקאים. כל הנדגמים נגשו למבחן.IQ להלן תוצאות המדגם: המדינה גודל המדגם סכום הציונים סכום ריבועי הציונים ישראל 5 ארה"ב , ,390. מצאו רווח סמך ברמת סמך של 95% לסטייה בין ממוצע הציונים בישראל לממוצע הציונים בארה"ב. רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל.. N ( µ y, σ ) N ( µ x להלן 4 תצפיות על משתנה X שמתפלג ) σ, ומשתנה Y שמתפלג. X 0 5 Y חשבו רווח סמך ל- µ ברמת הסמך 90%, בהנחה ששני המדגמים בלתי תלויים. y µ x

84 84 פרק - 8 רווח סמך לתוחלת ההפרש במדגם מזווג רקע: מדגם מזווג: מדגם אחד שבו יש צמדים. כל תצפית במדגם תנפק זוג ערכים: X ניצור משתנה חדש: ו- Y. D= x y µ D הפרמטר שנרצה לאמוד: התנאים לבניית רווח הסמך: x, y ~ N המדגם מזווג נוסחת רווח הסמך: D± t α SD כאשר דרגות החופש: d. f =

85 85 דוגמה: (פתרון בהקלטה) מעוניינים לבדוק האם יש הבדל בין מהירות הריצות של שתי תוכנות מחשב. לקחו 5 קבצים אקראיים והריצו אותם בשתי התוכנות: הקובץ הזמן בתוכנה הראשונה הזמן בתוכנה השנייה 7 הניחו כי זמני הריצות מתפלגים נורמלית. מ צאו רווח סמך של 95% להפרש תוחלת הזמן בין שתי התוכנות.

86 86 תרגילים: נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן הציונים בסמסטר א' ו- ב': סמסטר ב סמסטר א נניח שהציונים מתפלגים נורמאלית. א. ב. ג. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב. האם על סמך רווח הסמך קיים הבדל בין הסמסטרים מבחינת תוחלת הציונים? מה צריך לשנות בנתונים כדי שהמדגמים יהיו בלתי תלויים? במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות בינ"ל. נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. להלן התוצאות: המדינה בזק- X קווי זהב- Y ארה"ב קנדה הולנד פולין מצרים סין יפן בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית עבור כל חברה בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לתוחלת הפרש המחירים של שתי החברות.

87 87 רקע: פרק - 9 רווח סמך לשונות וסטיית תקן בפרק זה נדון על בניית רווח סמך לשונות האוכלוסייה. התנאי לבניית רווח הסמך: המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית, למרות שנהוג לא לדרוש את התנאי הזה אם המדגם מספיק גדול. רווח הסמך יתבסס על התפלגות הנקראת חי בריבוע. התפלגות זו היא התפלגות אסימטרית חיובית המתחילה מהערך אפס ותלויה בדרגות חופש. דרגות החופש במקרה זה יהיו: - p χ p ( ) S χ σ ( ) S χ α, α, רווח הסמך לשונות: S = ( X X) X i X i i= i= = כאשר אומד לשונות הלא-ידועה. אם נרצה לבנות רווח סמך לסטיית תקן אז נוציא שורש לרווח סמך לשונות. דוגמה: (פתרון בהקלטה) זמן התגובה מתפלג נורמאלית. במטרה לאמוד את שונות זמן התגובה נדגמו 4 תצפיות. להלן התוצאות בשניות: 4.7,5.,4.6,5.3. בנו רווח סמך, ברמת סמך של 95% לשונות זמן התגובה באוכלוסייה. פתרון : 0.039<σ <.708

88 88 תרגילים : חמישה מטופלים קבלו תרופה מסוימת. בדקו לכל מטופל את זמני התגובה שלו. להלן הזמנים שהתקבלו בדקות: 8,7,,6,8. בהנחה וזמני התגובה מתפלגים נורמאלית, בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לשונות זמן התגובה.. נדגמו 0 ימים אקראיים מחודשי יולי-אוגוסט ונמדדה בהם הטמפ' במעלות צלזיוס בת"א. במדגם התקבל טמפ' ממוצעת 30.8 וסטיית תקן מדגמית.. בהנחה והטמפ' מתפלגת נורמאלית: א. בנו רווח סמך לתוחלת הטמפ' בחודשים אלה בת"א ברמת סמך של 95%. ב. בנו רווח סמך לסטיית התקן של הטמפ' בחודשים אלה בת"א ברמת סמך של 95%.. ציוני IQ בארה"ב מתפלגים נורמאלית עם ממוצע 00 וסטיית תקן 5. נבחנו 0 נבחנים ישראלים במבחן ה- IQ. להלן התוצאות שהתקבלו :.3 0 Xi = 080 i= 0 Xi = 8, 0 i= נניח שגם בישראל הציונים מתפלגים נורמאלית. א. מצאו אומדנים לממוצע הציונים בישראל ולשונות הציונים בישראל באמצעות אומדנים חסרי הטיה. ב. אמדו ברמת ביטחון של 95% את תוחלת הציונים של נבחנים בישראל. ג. אמדו ברמת סמך של 90% את סטיית התקן של הציונים של נבחנים ישראלים. ד. על סמך הסעיפים הקודמים, האם בישראל ממוצע הציונים וסטיית התקן של הציונים שונה מבארה"ב? הסבירו.

89 89 0 Xi = 750 i= 0 ( Xi X ) = 900 i= 4. באוכלוסייה מסוימת נדגמו 0 תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות: X i (, ) נתון ש N µ σ א. בנו רווח סמך ל- µברמת סמך של 95%. ב. בנו רווח סמך ל- σברמת סמך של 95%.

90 90 פתרונות : שאלה א > 30.85< µ ב. < <σ תשובה 3 א. לממוצע 04, לשונות 00. ב. < µ 99.3< ג. < 3.7 σ 7.94<

91 9 טבלת התפלגות חי-בריבוע ערכי החלוקה χ p p χ p p df

92 9 רקע: פרק - 0 רווח סמך ליחס שוניות נרצה לאמוד את ההבדל בין שתי שונויות משתי אוכלוסיות שונות. σ : כלומר היחס בין השונויות. σ הפרמטר יהיה : X, X או מדגמים גדולים. ~ התנאים : N מדגמים בלתי תלויים. רווח הסמך יבנה על סמך התפלגות הנקראת התפלגות F. התפלגות זו היא אסימטרית חיובית ומושפעת משתי דרגות החופש זו של המונה וזו של המכנה. α α(, ) σ df = df = רווח הסמך יהיה : s σ s F s F s (, )

93 93 דוגמה: ) פתרון בהקלטה) מחקר סוציולוגי מעוניין לחקור את הרגלי הבילויים בקבוצות גיל שונות: במדגם שנעשה על סטודנטים בגילאי -6 התקבל אומד חוסר הטיה לשונות ההוצאה החודשית על בילויים 0,000. כמות הסטודנטים שנדגמו 6. במדגם שנעשה על מבוגרים בשנות השלושים התקבל אומד חסר הטיה לשונות ההוצאה החודשית על בילויים 490,000. נניח שההוצאה החודשית לבילוי בכל קבוצת גיל מתפלג נורמאלית. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% ליחס בין השונויות.

94 94 תרגילים: בתחום הבינוי משתמשים בשני סוגי מתכות: מתכת Aומתכת B. מחקר מעוניין לבדוק האם קיים הבדל בין שני סוגי המתכות מבחינת שונות החוזק שלהן. דגמו מספר יחידות. מתכת מכל סוג והתקבלו התוצאות הבאות: סוג המתכת B A N X i X i. יש להניח שרמת החוזק של המתכות מתפלגת נורמאלית. א. בנו רווח סמך ליחס השונויות של רמות החוזק בין שני סוגי המתכות ברמת סמך של 90%. ב. בנו רווח סמך ליחס סטיות התקן של רמות החוזק בין שני סוגי המתכות ברמת סמך של 90%. ג. האם בבטחון של 90% ניתן לומר שסטיות התקן של שני סוגי המתכות שונות? מעוניינים להשוות בין נשים וגברים מבחינת השונות בזמנים שלהם לבצע משימה מסוימת. במדגם של 0 גברים התקבלו התוצאות הבאות לגבי זמני ביצוע המשימה: ( y y) = 04 i במדגם של 3 נשים התקבלו התוצאות הבאות:. ( x x) = 00 i אמוד ברמת בטחון של 95% פי כמה גדולה השונות של הגברים באוכלוסייה מהשונות של הנשים. מה יש להניח לצורך פתרון?

95 95 טבלתהתפלגות F.ערכיהחלוקה F p שלהתפלגות ) F(m, m דרגותחופשהמונה ; דרגות חופש המכנה m p

96 96 m p

97 97 פרק - תרגול מסכם ברווחי סמך מהירות הגלישה באינטרנט במקום מסוים מתפלגת נורמאלית.בדקו את מהירות הגלישה ב- 30 זמנים אקראיים. מהירות הגלישה נמדדה ב- Mbps. מהירות מתחת ל- 0Mbps מוגדרת על ידי החברה כנמוכה. התוצאות שהתקבלו במדגם : ממוצע היה 87 עם סטיית תקן 7 ו- פעמים המהירות הייתה נמוכה. בנו רווחי סמך ברמת סמך של 95% לפרמטרים הבאים: א. תוחלת מהירות הגלישה. ב. סטיית תקן של מהירות הגלישה. ג. הסיכוי שמהירות הגלישה תהיה נמוכה.. 00 אנשים נשאלו כמה פעמים ביום הם שותים כוס קפה. להלן התפלגות התשובות: מספר פעמים מספר אנשים..3 סמך א. תנו רווח סמך לממוצע מספר כוסות הקפה שאנשים נוהגים לשתות ביום = α ב. אדם השותה לפחות 4 כוסות קפה ביום נקרא "מכור לקפה". בנו רווח סמך לאחוז "המכורים לקפה" = 0. α הוא חוקר בנה רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת בשנה. רווח הסמך שהתקבל 8 < p< 9 רווח הסמך הנ"ל התבסס על מדגם של 500 איש. א. כמה אנשים במדגם טענו שכלל לא התקררו השנה? ב. באיזו רמת סמך נבנה רווח הסמך? ג. בנו רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת השנה ברמת סמך של 95% על תוצאות המדגם.

98 98 4. ציוני IQבארה"ב מתפלגים נורמאלית עם תוחלת 00. במדגם של 0 ישראלים שנבחנו במבחן 0 i= 0 i= x = 040 x i i = 0740 ה- IQ התקבלו התוצאות הבאות: א. אמדו ברמת ביטחון של 90% את ממוצע ציוני בחינת ה- IQבישראל מהי ההנחה הדרושה לפתרון? ב. על סמך רווח הסמך של סעיף א האם תקבלו את הטענה שבישראל ממוצע הציונים שונה מארה"ב? ג. מה היה קורה לרווח הסמך אם הינו מגדילים את רמת הסמך שלו? להלן תוצאות מדגם שבדק עבור כל משפחה האם יש לה בבית מכשיר טאבלט. שאר הארץ גוש דן אזור מגורים גודל המדגם מספר משפחות בעלי טאבלט.5 א. בנו רווח סמך להבדל בין אחוז המשפחות עם טאבלט בגוש דן ואחוז המשפחות בעלי טאבלט בשאר חלקי הארץ. ברמת סמך של 98%. ב. בנו רווח סמך לפרופורצית משפחות בעלות טאבלט בכלל הארץ ברמת סמך של 95%. 6. הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית במדגם של 5 מתגייסים התקבלו התוצאות הבאות: x = 76.cm ( x x) = 83cm i א. ב. אמדו את הגובה הממוצע של המתגייסים ברמת סמך של 98%. אמדו ברמת סמך של 90% את סטיית התקן של הגובה של מתגייסים של צה"ל.

99 99 בנק מתלבט האם לפתוח סניף באזור A או באזור B.לצורך פתרון נניח שסטית התקן של המשכורת באזור 00 ובאזור 500B Aהיא.הבנק דגם 50 אנשים מאזור A, המשכורת הממוצעת שהתקבלה במדגם היא. 6,800 כמו כן נדגמו 40 אנשים מאזור B, המשכורת הממוצעת שהתקבלה במדגם היא. 6,600 א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% להפרש הממוצעים של המשכורות בשני האזורים. האם על סמך רווח הסמך ניתן להמליץ לבנק היכן לפתוח את הסניף. אם כן, היכן?.7 ב. בנו רווח סמך לתוחלת המשכורת באזור Aברמת סמך של 95%. להלן מדגם של שכר הדירה בש"ח של 5 דירות שלושה חדרים בשכונת בבלי בתל אביב : שנת שנת 03 בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת עליית שכר הדירה משנת 0 לשנת 03 בשכונת בבלי. ניתן להניח ששכר הדירה בשכונה מתפלג נורמלית.

100 00 פתרונות: שאלה µ א σ ב..9 ג p 0.5 שאלה. µ % p 9.5% א. ב. שאלה 3 א. 70 ב % 83% p ג. 89% שאלה µ א ב. לא ג. יגדל שאלה 5 0.5% < p p < 9.5% p א. ב. שאלה µ א σ ב. 4.3

101 0 שאלה 7 37 µ µ 77 A B 6467 µ 733 א. ב. שאלה 8 µ µ

102 0 רקע: פרק - בדיקת השערות כללית תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה. בתהליך זה ישנן שתי השערות שנבדקות : השערת האפס המסומנות ב- H 0. H והשערה אלטרנטיבית ) השערת המחקר ( המסומנת ב- בדרך כלל השערת האפס מסמנת את אשר היה מקובל עד עכשיו, את השגרה הנורמה ואילו ההשערה האלטרנטיבית את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה שהמחקר נעשה. למשל, ישנה תרופה קיימת למחלה A אשר גורמת ל % 0 מהמשתמשים בה לתופעות לוואי. חברת תרופות טוענת שפיתחה תרופה שיעילה באותה מידה, אך מקטינה את הסיכוי לתופעות הלוואי. לכן יש לבצע מחקר שעל סמך תוצאותיו ננסה להכריע איזה השערה נקבל: H 0 : התרופה החדשה הנה קונבנציונאלית וגורמת ל- 0% תופעות לוואי. : H התרופה החדשה מקטינה את אחוז הסובלים מתופעות לוואי מתחת ל -0%. בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה : הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ) דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה) ואזור קבלה ) קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה). כלל ההכרעה מתבסס על איזשהו סטטיסטי. בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך להגיע למסקנה המסקנה היא בעירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות המדגם. נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכולים לקבל מסקנה אחרת. נבצע מדגם חדש אנחנו עלולים לקבל תוצאה אחרת. לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו: הכרעה H0 H H0 אין טעות טעות מסוג H טעות מסוג אין טעות מציאות

103 03 הגדרת הטעויות: H 0 H 0 טעות מסוג ראשון- להכריע לדחות את למרות שבמציאות נכונה. H H 0 טעות מסוג שני- להכריע לקבל את למרות שבמציאות נכונה. מה הן הטעויות האפשריות במחקר של התרופות? ) בהקלטה ( נגדיר את ההסתברויות הבאות: הסיכוי לבצע טעות מסוג ) רמת מובהקות ( ) לדחות H 0 )= (H נכונה לדחות את α=p(h 0 הסיכוי לבצע טעות מסוג : ) לקבל H )= (H נכונה לקבל את β =P(H 0 רמת בטחון: ) לקבל H 0 )= (H נכונה לקבל את (-α) =P(H 0 עוצמה : ) לדחות H ) = (H נכונה לדחות את π=(-β ) =P(H 0 דוגמה: ) פתרון בהקלטה ( בכד יש 0 כדורים. יתכן ש- 5 מהם לבנים והיתר שחורים (כד א- השערת האפס) או ש- 7 מהם לבנים והיתר שחורים (כד ב- השערה אלטרנטיבית). כדי להחליט איזה מהכדים ברשותנו, הוחלט להוציא כדור ולהשתמש בכלל ההחלטה הבא: אם הכדור שהוצא הוא לבן שזהו כד ב' ) H). א. חשבו את רמת המובהקות ואת רמת הביטחון של המבחן המוצע. ב. חשבו את הסיכוי לטעות מסוג שני והעוצמה של המבחן המוצע.

104 04 תרגילים:. אדם חשוד בביצוע פשע. מהן הטעויות האפשריות בהכרעת הדין? ילד קנה שקית סוכריות אטומה שבה ציפה ל- 0 סוכריות תות ו- 5 לימון. ישנה שקית אחרת אותה הוא לא רצה בה 6 סוכריות תות ו- 9 לימון.הוא החליט להוציא באקראי סוכרייה אם היא תהיה לימון הוא יחזיר את השקית לחנות. מה הסיכויים לכל סוג של טעות בהכרעתו?. יהי X מספר שלם הנבחר באקראי מבין המספרים השלמים. הסיכוי ש- X יקבל ערך k) p( X = עבור כלשהו נתון על ידי הנוסחה: = נתונות ההשערות הבאות לגבי התפלגות של X: k =,,..., H 0 : = 4 H : = 6 כמו כן נתון כלל ההכרעה הבא: נדחה את השערת האפס אם 3<X. חשבו את הסיכוי לטעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני ואת העוצמה?.3 איכות של מוצר מסווגת ל- 4 רמות איכות: מצוין, טוב, בינוני וירוד. להלן התפלגות טיב המוצר בשני מפעלים: ירוד בינוני טוב מצוין מפעל "היוצר" "שמשון".4 בוחרים ממשלוח מוצר באקראי, אך לא יודעים מאיזה מפעל המשלוח הגיע. על סמך בדיקת האיכות מנסים להכריע האם מדובר במפעל "היוצר" (השערת האפס) או במפעל "שמשון" (השערה אלטרנטיבית). א. להלן כלל החלטה: אם מדובר במוצר שטיבו "טוב" נכריע שהמוצר בא ממפעל "שמשון", מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים? ב. להלן כלל החלטה: אם מדובר במוצר שטיבו "בנוני" או גרוע מכך נכריע שהמוצר בא ממפעל "שמשון", מה מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים? ג. איזה כלל החלטה עדיף? נמק!

105 05 במטרה לבדוק האם מטבע תקין הטילו אותו 8 פעמים. הוחלט שאם מספר העצים יהיה בין ל 7 כולל יוחלט שהמטבע תקין, אחרת נחליט שהמטבע מזויף. א. רשמו את השערות המחקר. ב. מה ההסתברות לטעות מסוג ראשון? ג. מהי עצמת המבחן אם במציאות אכן המטבע אינו תקין כי הסיכוי לעץ בו הוא 0%..5 להלן השערות: H : X ~ t(5) 0 H : X ~ Z (התפלגות t עם 5 דרגות חופש) (התפלגות נורמאלית סטנדרטית) כלל החלטה: נדחה את השערת האפס אם X גדול מ-.05. מהי רמת המובהקות של כלל ההחלטה? א. מהי העוצמה של כלל ההחלטה? ב..6 א. ב. ג. ד. במפעל מסוים נפלטים לאוויר חומרים רעילים. במצב שיגרה העוצמה הממוצעת של החומר הרעיל אמורה להיות 6,000 יחידות עם סטיית תקן 900. במצב חירום העוצמה הממוצעת היא 7,000 עם סטיית תקן 900. במפעל מערכת התראה נתמכת על ידי 9 חיישנים. אם ממוצע העוצמה של החומר הרעיל לפי תשעת החיישנים עולה על 6600 יחידות מופעלת מערכת ההתראה. נתון שעוצמת הזיהום מתפלגת נורמאלית. מה הסיכוי להתראת שווא? (באיזה סוג טעות מדובר)? מה הסיכוי שבמצב חירום מערכת ההתראה לא תפעל? (באיזה סוג טעות מדובר)? מה ההסתברות שאם המצב הוא מצב חירום מערכת ההתראה תפעל? (איך קוראים להסתברות זו)?...3 בסעיפים הבאים נשנה בכל סעיף נתון מסוים. כל סעיף עומד בפני עצמו, כיצד השינוי ישנה את הסיכוי לטעות מסוג ראשון ושני? המפעל יקנה עוד 4 חיישנים. מצב חרום מוגדר כעת בתוחלת של 7500 יחידות. מערכת ההתראה תופעל אם ממוצע של תשעת החיישנים יהיה מעל במטרה לבדוק האם במקום עבודה מסוים פרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות נדגמו באקראי 0 עובדים. הוחלט שאם מספר הבנים במדגם יהיה לכל היותר תתקבל הטענה שפרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות. א. מה רמת המובהקות של כלל ההכרעה הנ"ל? ב. מהי העצמה בהנחה ובחברה 30% בנים?.8

106 06 זמן ההשפעה של משכך הכאבים "אופטלנוס" מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 40 דקות וסטיית תקן של דקות. חברת התרופות המייצרת את התרופה מנסה לשפר את התרופה כך שתוחלת הזמן עד להשפעה תתקצר. לצורך כך, דגמו 5 מטופלים שיקבלו את התרופה "אופטלנוס פורטה", ממוצע זמן התגובה של המטופלים היה 34.5 דקות. חברת התרופות החליטה מראש שאם ממוצע הזמן עד להשפעה יהיה נמוך מ 35 דקות, היא תמשיך בתהליך שיווק "אופטלנוס א. מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע? פורטה". ב. על סמך תוצאות המדגם. מהי המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה? ג. מהי עצמת המבחן המוצע אם במציאות התרופה "אופטלנוס פורטה" מפחיתה את התוחלת לכדי 3 דקות? ד. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ג' אם החברה הייתה מחליטה שהיא תמשיך בתהליך שיווק התרופה החדשה כאשר ממוצע המדגם יהיה נמוך מ- 36 דקות?.9 שלמדו רק אם 0. ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 0. שלא היו. נקודות? מכון טוען שלימודים אצלו מעלים את ממוצע הציונים ביותר מ- 30 נקודות. נלקחו 0 במכון ו- 0 שניגשו לבחינה בלמידה עצמית. הוחלט במשרד פרסום לקבל את טענת המכון במדגם ממוצע הציונים של אלה שלמדו במכון יהיה גבוהה בלפחות 50 נקודות מאלה א. מהי רמת המובהקות של המחקר? ב. מה הסיכוי לעשות טעות מסוג שני II בהנחה שהמכון מעלה את ממוצע הציונים ב- 60 ג. כיצד התשובות לסעיף א ו ב' היו משתנות אם מסתבר שסטיית התקן בציוני הפסיכומטרי הינה 00. הסבירו ללא חישוב.. קו ייצור נחשב תקין אם יש בו לכל היותר 4% פגומים, ונחשב שאינו תקין אחרת. מנהל האיכות דוגם בכל יום מקו הייצור 500 מוצרים. אם במדגם יהיה לפחות 30 מוצרים פגומים יפסיקו באותו היום את קו הייצור. א. מה ההסתברות להפסיק את קו הייצור כשהוא תקין. איך קוראים להסתברות זאת? ב. מה ההסתברות להמשיך ביום מסוים את קו הייצור למרות שאינו תקין כי היו 8% פגומים בקו הייצור. איך קוראים להסתברות זאת?. מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים. הוחלט לדגום 00 מתקבלים ועל סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת. חוקר א' קבע רמת מובהקות של 5% וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו לפחות 0 בנים. למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?

107 07 מספר המכוניות הנכנסות לחניון "עזרים" מתפלג פואסונית. בשנה שעברה המכוניות נכנסו לחניון בקצב של מכוניות לדקה. בעקבות תלונות על עומס יתר בכניסה לחניון מעוניין מנהל החניון לבדוק האם קצב כניסת המכוניות לחניון גדל השנה. מנהל החניון החליט לספור את מספר המכוניות שיכנסו לחניון בדקה אקראית. אם מספר המכוניות שיספרו יהיה לפחות 4 יפתח מנהל החניון שער נוסף לחניון. א. רשום את השערות מנהל החניון ואת כלל ההחלטה שלו. האם כלל ההכרעה הגיוני? ב. מהי רמת המובהקות של כלל ההכרעה? ג. מהי העוצמה של כלל ההחלטה, אם כיום קצב כניסת המכוניות לחניון גדל ל- 4 מכוניות בדקה?.3 4. עודד עובד במפעל שבו מתחילים לעבוד בשעה 8:00. עודד בדרך כלל מאחר לעבודה והמנהל החליט לרשום את שעת בואו לעבודה. המנהל טוען שמשך האיחור של עודד (דקות), X, היא משתנה אחיד (60,0)U. עודד טוען שהוא לא מגיע באיחור כה גדול, אלא שהתפלגות X היא בעלת התפלגות מעריכית עם תוחלת איחור של 0 דקות. לבדיקת טענת המנהל ) 0 H) כנגד טענת עודד( H), המבוסס על משך האיחור של חגי ביום אחד. מוצאים שני ככלי הכרעה: כלל : דחה את השערת האפס אם משך האיחור יהיה לפחות 40 דקות. כלל : דחה את השערת האפס אם משך האיחור יהיה לכל היותר 0 דקות. חשב את הסיכוי לטעות מסוג ראשון ושני לכל אחת מכללי ההכרעה. מי עדיף?

108 08 פתרונות: β = 5 β = 0.5 שאלה α = 3 שאלה 3 α = 0.5 שאלה 4 β = 0.8α = 0. β = 0.3α = 0. א. ב. ג. כלל ב' שאלה ב. ג. שאלה 6 א ב. 0.0 שאלה 7 א ב ג שאלה 8 א ב שאלה 0 א ב ג. קטן שאלה א ב

109 09 שאלה חוקר א שאלה 3 ב ג

110 0 פרק - 3 בדיקת השערות על פרמטרים הקדמה רקע: תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה. בבדיקת השערות על פרמטרים נעבוד לפי השלבים הבאים: שלב א: נזהה את הפרמטר הנחקר. שלב ב: נרשום את השערות המחקר. השערת האפס המסומנות ב- בדרך כלל השערת האפס מסמלת את אשר היה מקובל עד עכשיו, את השגרה הנורמה. השערה אלטרנטיבית ) השערת המחקר ( המסומנת ב-. H H 0 ההשערה האלטרנטיבית מסמלת את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה שהמחקר נעשה היא שאלת המחקר. שלב ג : נבדוק האם התנאים לביצוע התהליך מתקיימים ונניח הנחות במידת הצורך. שלב ד: נרשום את כלל ההכרעה. בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה : הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ) דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה) ואזור קבלה ) קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה). כלל ההכרעה מתבסס על איזשהו סטטיסטי. אזור הדחיה מוכתב על ידי סיכון שלוקח החוקר מראש שנקרא רמת מובהקות ומסומן ב- α. שלב ה: בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולחשב את הסטטיסטי המתאים ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה. שלב ו : להסיק מסקנה בהתאם לתוצאות המדגם.

111 דוגמה: ) פתרון בהקלטה) משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל 3300 גר'. משרד הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך מהממוצע. במחקר השתתפו 0 נשים מעשנות בהריון. להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל של התינוקות בעת הלידה: = 0 X = 30 S = 80 א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר? תרגילים:

112 ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו 7 עם סטיית תקן 5 נקודות. מורה טוען שפיתח שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים. משרד החינוך החליט לתת למורה 36 תלמידים אקראיים. ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה מהי אוכלוסיית המחקר? א. מה המשתנה הנחקר? ב. מה הפרמטר הנחקר? ג. מהן השערות המחקר? ד.. לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח 0 סמ"ק וסטיית תקן 500 תוחלת המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. מהי אוכלוסיית המחקר? א. מה המשתנה הנחקר? ב. מה הפרמטר הנחקר? ג. מהן השערות המחקר? ד.. במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה למשפטים היה 5%. השנה מתוך מדגם של 0 מועמדים התקבלו. מחקר מעוניין לבדוק האם השנה מקשים על הקבלה לפקולטה למשפטים. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? מה הפרמטר הנחקר? ג. מהן השערות המחקר? ד בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא 8% במדגם עכשווי התקבל שמתוך 00 אנשים 6.5% מובטלים. רוצים לבדוק ברמת מובהקות של 5% האם כיום אחוז האבטלה הוא כמו בתחילת השנה. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר?

113 3 רקע: טעויות בבדיקת השערות בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה : הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ) דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה) ואזור קבלה ) קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה). כלל ההכרעה מתבסס על איזשהו סטטיסטי. בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך להגיע למסקנה המסקנה היא בעירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות המדגם. נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכולים לקבל מסקנה אחרת. נבצע מדגם חדש אנחנו עלולים לקבל תוצאה אחרת. לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו: הכרעה H0 H H0 אין טעות טעות מסוג מציאות טעות מסוג H אין טעות הגדרת הטעויות: טעות מסוג ראשון- להכריע לדחות את למרות שבמציאות H 0 נכונה. H 0 טעות מסוג שני- להכריע לקבל את למרות שבמציאות H נכונה. H 0 דוגמה: (פתרון בהקלטה) אדם חשוד בביצוע עבירה ונתבע בבית המשפט. אילו סוגי טעויות אפשריות בהכרעת הדין?

114 4 תרגילים: לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת 500 סמ"ק וסטיית תקן 0 סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. בסופו של דבר הוחלט להכריע לטובת חברת המשקאות. א. רשמו את השערות המחקר. ב. מה מסקנת המחקר? ג. איזו סוג טעות יתכן וביצעו במחקר?.. במחקר על פרמטר מסוים הוחלט בסופו של דבר לדחות את השערת האפס. א. האם ניתן לדעת אם בוצע טעות במחקר? ב. מה סוג הטעות האפשרית? 3. לפי נתוני משרד הפנים בשנת 980 למשפחה ממוצעת היה.3 ילדים למשפחה עם סטיית תקן 0.4. ישנה טענה שכיום ממוצע מספר הילדים במשפחה קטן יותר. לצורך כך הוחלט לדגום משפחות. במדגם התקבל ממוצע.7 ילדים למשפחה. על סמך תוצאות המדגם נקבע שלא ניתן לקבוע שבאופן מובהק תוחלת מספר הילדים למשפחה קטנה כיום. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מה השערות המחקר? ה. מה מסקנת המחקר? ו. מהי סוג הטעות האפשרית במחקר?

115 5 פרק - 4 בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסיה ידועה רקע: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 0 H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה:. תנאים: σ ידועה X או מדגם מספיק גדול N. Z x > Z α Z x < Z α Z x < Z α : כלל ההכרעה: אזור הדחייה של Z x או > Z α H 0 H 0 Z α - דוחים את Z α H 0 - דוחים את Z Z α α H 0 - דוחים את סטטיסטי המבחן : Z X X µ 0 = σ חלופה אחרת לכלל הכרעה: X µ + Z α > 0 σ X µ Z α < 0 σ X X > µ + Z 0 < µ Z 0 נדחה H 0 אם מתקיים: או α / α / σ σ

116 6 דוגמה : (פתרון בהקלטה) יבול העגבניות מתפלג נורמלית עם תוחלת של 0 טון לדונם וסטיית תקן של.5 טון לדונם בעונה. משערים ששיטת זיבול חדשה תעלה את תוחלת היבול לעונה מבלי לשנות את סטיית התקן. נדגמו 4 חלקות שזובלו בשיטה החדשה. היבול הממוצע שהתקבל היה.5 טון לדונם. בדוק את ההשערה ברמת מובהקות של %.

117 7 תרגילים: ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו 7 עם סטיית תקן 5 נקודות. מורה טוען שפיתח שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים. משרד החינוך החליט לתת למורה 36 תלמידים אקראיים. ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה בהנחה שגם בשיטתו סטיית התקן תהייה 5 מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?.. לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת 500 סמ"ק וסטיית תקן 0 סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. א. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של.5%? ב. האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה עבור רמת מובהקות הגבוהה מ- 5%? מוטות מהנדס האיכות מעוניין לבדוק אם מכונה מכוילת (מאופסת). המכונה כוונה לחתוך במדגם של באורך 50 ס"מ. לפי נתוני היצרן סטיית התקן בחיתוך המוטות היא 0.5 ס"מ. מובהקות של 5%? 50 מוטות התקבל ממוצע אורך המוט ס"מ.מה מסקנתכם ברמת.3 4. המשקל הממוצע של הספורטאים בתחום ספורט מסוים הוא 90 ק"ג, עם סטיית תקן 8 ק"ג. לפי דעת מומחים בתחום יש צורך בהורדת המשקל ובשימוש בדיאטה מסוימת שצריכה להביא להורדת המשקל. לשם בדיקת יעילות הדיאטה נלקח מדגם מקרי של 50 ספורטאים ובתום שנה של שימוש בדיאטה התברר שהמשקל הממוצע במדגם זה היה 84 ק"ג. יש לבדוק בר"מ של 0%, האם הדיאטה גורמת להורדת המשקל. 5. לפי מפרט נתון, על עובי בורג להיות 4 מ"מ עם סטיית תקן של 0. מ"מ. במדגם של 5 ברגים העובי הממוצע היה 4.07 מ"מ. קבעו ברמת מובהקות 0.05, האם עובי הברגים מתאים למפרט. הניחו כי עובי של בורג מתפלג נורמלית וסטיית התקן של עובי בורג היא אכן 0. מ"מ.

118 8 6. במחקר נמצא שתוצאה היא מובהקת ברמת מובהקות של 5% מה תמיד נכון? בחר בתשובה א. הגדלת רמת המובהקות לא תשתנה את מסקנת המחקר. הנכונה. ב. הגדלת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר. ג. הקטנת רמת המובהקות לא תשנה את מסקנת המחקר. ד. הקטנת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר. 7. חוקר ערך מבחן דו צדדי ברמת מובהקות של α והחליט לדחות את השערת האפס. אם החוקר היה עורך מבחן צדדי ברמת מובהקות של א. השערת האפס הייתה נדחית. ב. השערת האפס הייתה לא נדחית. ג. לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו במקרה זה. α אזי בהכרח: (בחר בתשובה הנכונה ( שני סטטיסטיקאים בדקו השערות H 0 : µ=µ 0 כנגד H : µ>µ 0 עבור שונות ידועה ובאותה רמת מובהקות. שני החוקרים קבלו אותו ממוצע במדגם אך לחוקר א' היה מדגם בגודל מדגם בגודל 00. א. אם חוקר א' החליט לדחות את ב. אם חוקר א' יחליט לא לדחות את, H 0 מה יחליט חוקר ב'? נמקו., H 0 מה יחליט חוקר ב'? נמקו. 00 ולחוקר ב'.8

119 9 פתרונות : שאלה : H 0 נקבל שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נדחה שאלה 4: H 0 נדחה שאלה 5: H 0 נקבל שאלה 6: ב שאלה 7: ג שאלה 8: א. אותה מסקנה ב. לא ניתן לדעת.

120 0 סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה רקע: הכרעה מציאות H0 H טעות מסוג אין טעות H0 אין טעות טעות מסוג H נגדיר את ההסתברויות הבאות: הסיכוי לבצע טעות מסוג ) רמת מובהקות ( ) לדחות H 0 )= (H נכונה לדחות את α=p(h 0 הסיכוי לבצע טעות מסוג : ) לקבל H )= (H נכונה לקבל את β =P(H 0 רמת בטחון: ) לקבל H 0 )= (H נכונה לקבל את (-α) =P(H 0 עוצמה : ) לדחות H ) = (H נכונה לדחות את π=(-β ) =P(H 0

121 התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 0 H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה:.3 תנאים: σ ידועה X או מדגם מספיק גדול N.4 X µ + Z α > 0 σ X µ Z α < 0 σ X X > µ + Z 0 < µ Z 0 σ σ : H 0 כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או α / α / σ P ( X < µ + Z ) H 0 α σ P ( X > µ Z ) H 0 α σ σ P ( µ Z < X < µ + Z ) H 0 α 0 α חישוב β: X σ ~ N ( µ, ) התפלגות ממוצע המדגם : Z x µ התקנון : = σ

122 דוגמה : (פתרון בהקלטה) בתחילת השנה חשבון הטלפון הסלולארי הממוצע לאדם היה 00 עם סטיית תקן של 80 לחודש. בעקבות כניסתן של חברות טלפון סלולארית חדשות מעוניינים לבדוק האם כיום ממוצע חשבון הטלפון הסלולארי פחת. לצורך בדיקה דגמו באקראי 36 אנשים וחשבון הטלפון הסלולארי שלהם היה 50 בממוצע לחודש. א. רשמו את השערות המחקר ובנו כלל הכרעה במונחי חשבון ממוצע מדגמי ברמת מובהקות של 5%. ב. מה מסקנתכם? איזה סוג טעות אפשרית במסקנה? ג. נניח שבמציאות כיום החשבון הממוצע הוא. 60 מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני? ד. אם נקטין את רמת המובהקות מסעיף א', כיצד הדבר ישפיע על התשובה מסעיף ג'?

123 3 תרגילים: 0 X נתון ש ) =, µσ N( להלן השערות של חוקר לגבי הפרמטר µ: H : µ = 5 H : µ = 7.5% מעוניינים ליצור כלל הכרעה המתבסס על הסמך תצפית בודדת כך שרמת המובהקות תהיה א. עבור אילו ערכים של X שידגם נדחית השערת? H 0 ב. מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?.6 = X מה תהיה המסקנה ומה הטעות האפשרית? ג. אם במדגם התקבל ש 9. לפי נתוני משרד הפנים בשנת 980 למשפחה ממוצעת היה.3 ילדים למשפחה עם סטיית תקן 0.4. מעוניינים לבדוק אם כיום ממוצע מספר הילדים למשפחה קטן יותר. לצורך כך הוחלט לדגום משפחות. במדגם התקבל ממוצע.7 ילדים למשפחה. א. רשמו כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי ברמת מובהקות של 5%. ב. בהמשך לסעיף א מה תהיה המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה? ג. אם באמת ממוצע מספר הילדים במשפחה פחת לכדי. מהי העצמה של הכלל מסעיף א?. להלן נתונים על תהליך של בדיקת השערות על תוחלת: : µ = 00 σ = 30 = 5 א. רשום כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי וברמת מובהקות של 0%. ב. בהמשך לסעיף א מהי העצמה אם התוחלת שווה ל- 95? ג. הסבר ללא חישוב איך העצמה תשתנה אם רמת המובהקות תהייה 5%? H 0 H : µ 00.3

124 4 מפעל לייצור צינורות מייצר צינור שקוטרו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 50 מ"מ וסטית תקן של 6 מ"מ. במחלקת ביקורת האיכות דוגמים בכל יום 8 צינורות ומודדים את קוטרם, בכדי לבדוק, בעזרת מבחן סטטיסטי, האם מכונת הייצור מכוילת כנדרש או שקוטר הצינורות קטן מהדרוש. א. רשום את ההשערות ואת כלל ההכרעה ברמת מובהקות של 5%. ב. אם ביום כלשהו מכונת הייצור התקלקלה והיא מייצרת את הצינורות בקוטר שתוחלתו 48 מ"מ בלבד (סטית התקן לא השתנתה), מה ההסתברות שהתקלה לא תתגלה בביקורת האיכות? כיצד נקראת הסתברות זו? ג. הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם רמת המובהקות תגדל. ד. הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם התוחלת האמיתית היא 47 ולא 48 מ"מ..4 0 להלן השערות של מחקר H : µ = 50 H : µ = 58 מעוניינים לדגום 00 תצפיות. ידוע שסטיית התקן של ההתפלגות הינה 0. א. בנו כלל הכרעה שהסיכוי לטעות מסוג שני בו הוא. 0% מהי רמת המובהקות? ב. כיצד הייתה משתנה רמת המובהקות אם. סטיית התקן הייתה יותר גדולה.. הסיכוי לטעות מסוג שני גדול יותר. (כל סעיף בפני עצמו)?.5 השאלות שלהלן הן שאלות רב בררתיות. בחר בכל שאלה את התשובה הנכונה ביותר: אם חוקר החליט להגדיל את רמת המובהקות במחקר שלו אזי: א. הסיכוי לטעות מסוג ראשון גדל. ב. העוצמה של המבחן גדלה. ג. הסיכוי לטעות מסוג שני גדל. ד. תשובות א ו-ב נכונות. חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן: א. השערת האפס נכונה. ב. השערת האפס נדחתה. ג. השערת האפס לא נדחתה. ד. אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח..6.7

125 5 מה המצב הרצוי לחוקר המבצע בדיקת השערה: β α גדולה גדולה א. קטנה גדולה ב. גדולה קטנה ג. קטנה קטנה ד..8 H 0 נערך שינוי בכלל ההחלטה של בדיקת השערה מסוימת ובעקבותיו אזור דחיית קטן. כל שאר הגורמים נשארו ללא שינוי. כתוצאה מכך:.9 א. הן α, והן (β- ), יקטנו. ב. ג. ד. הן αיישאר ללא שינוי ואילו (β- ) יגדל. αיגדל ואילו (β- ) יקטן. αוהן (β- ) יגדלו. ידוע כי לחץ דם תקין באוכלוסייה הוא. 0 רופא מניח שלחץ הדם בקרב עיתונאים גבוה יותר מהממוצע באוכלוסייה. הוא לקח מדגם של 60 עיתונאים וקיבל ממוצע 37. על סמך המדגם, הוא בודק טענתו ברמת מובהקות 0.0 ומסיק שלחץ הדם בקרב העיתונאים אינו גבוה יותר. מה הטעות האפשרית שהרופא עושה? א. טעות מסוג ראשון. ב. טעות מסוג שני. ג. טעות מסוג שלישי. ד. אין טעות במסקנתו..0

126 6 פתרונות : שאלה : א. מעל ב שאלה : X <.4 א. נדחה H 0 אם ב. נדחה H 0 ג. שאלה 3: X < 96.7 X > 03.9 א. נדחה H 0 אם או ב ג. תקטן. שאלה 4: X < 48.9 א. נדחה H 0 אם ב ג. תקטן. ד. תקטן. שאלה 6: ד שאלה 7: ג שאלה 8: ג שאלה 9: א שאלה 0: ב

127 7 רקע: קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה H : µ = µ 0 0 H : µ = µ השערות המחקר הן : סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה σומעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על α והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי : α + Z β σ ( Z ) µ 0 µ דוגמה: (פתרון בהקלטה) משרד החינוך מפעיל בגן חובה שיטת חינוך שפותחה בשנת 995. לפי שיטת חינוך זו תוחלת הציון במבחן אוצר מילים לגיל הרך הוא 70. אנשי חינוך החליטו לבדוק שיטת חינוך שפותחה בהולנד הנותנת שם תוחלת ציון אוצר מילים של 80. נניח שציוני מבחן זה מתפלגים נורמאלית עם 7= σ. כדי לבדוק האם גם בישראל הפעלת שיטת החינוך ההולנדית תעבוד בגנים, רוצים לבנות מחקר ברמת מובהקות של 5%. כמו כן, מעוניינים שאם בהפעלת השיטה ההולנדית תוחלת הציונים תעלה לכדי 80, המחקר יגלה זאת בסיכוי של 90%. כמה ילדי גן חובה דרושים למחקר?

128 8 תרגילים: במבחן אינטליגנציה הציונים מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן 8 וממוצע 00. פסיכולוג מעוניין לבדוק את הטענה שבאוכלוסיות במצב סוציו אקונומי נמוך תוחלת הציונים היא 95. אם מעוניינים לגלות את הטענה בהסתברות של לפחות 99% כשרמת המובהקות היא 5% מהו גודל המדגם הדרוש?.. משרד התקשורת טוענים שאדם מדבר בממוצע 80 דקות בחודש בטלפון הסלולרי. חברות הטלפון הסלולרי טוענות שאינפורמציה זו אינה נכונה ואדם מדבר בממוצע פחות : כ- 60 דקות. לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של זמן השיחה החודשי ידוע ושווה ל- 60 דקות. כמה אנשים יש לדגום כך שאם טענת משרד התקשורת נכונה נדחה אותה בסיכוי של 5% (איך קוראים להסתברות זאת?) כמו כן אם טענת חברות הטלפון הסלולרית נכונה המחקר יגלה זאת בסיכוי של 90% (איך קוראים להסתברות זאת?) H : µ = µ השערות המחקר הן : H : µ = µ כמו כן נתון שהמשתנה מתפלג נורמלית עם סטיית התקן ידועה σמעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על αוהסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הוכח שגוגל המדגם הרצוי לכך יהיה : α + Z β σ ( Z ) µ 0 µ

129 9 פתרונות : שאלה : 4 : שאלה 78 שאלה 3: הוכחה

130 30 מובהקות התוצאה ) p-value ( בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה רקע: דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה, היא דרך חישוב מובהקות התוצאה:. p v באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב- את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת,את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב רק אחרי שיהיו לו את התוצאות. המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: H 0 pv אם α דוחים את p v = מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת האפס. P H 0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) אם ההשערה היא דו צדדית : (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) p = P v H 0 מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 0 H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה:.5 תנאים: σ ידועה X או מדגם מספיק גדול N.6 P ( ) H 0 X x P ( ) H 0 X x P ( X x) אם x > µ H0 0 P ( X x) אם x < µ H0 0 p-value σ X ~ N ( µ כאשר בהנחת השערת האפס : ),0 Z x x µ 0 = σ

131 3 דוגמה: (פתרון בהקלטה) המשקל הממוצע של מתגייסים לצבא לפני 0 שנה היה 65 ק"ג. מחקר מעוניין לבדוק האם כיום המשקל הממוצע של מתגייסים גבוה יותר. נניח שמשקל המתגייסים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ק"ג. במדגם של 6 מתגייסים התקבל משקל ממוצע של 7 ק"ג. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה המסקנה אם רמת המובהקות היא 5% ואם רמת המובהקות היא %?

132 3 תרגילים: לפניך השערות של מחקר : H0 : µ = 70. H : µ > 70 המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 0. במדגם מאותה אוכלוסייה התוצאות הבאות: התקבלו = 00 x = 74 מהי מובהקות התוצאה?. השכר הממוצע במשק בשנת 0 היה 8800 עם סטיית תקן 000. במדגם שנעשה אתמול על 00 עובדים התקבל שכר ממוצע מטרת המחקר היא לבדוק האם כיום חלה עליה בשכר. עבור אילו רמות מובהקות שיבחר החוקר יוחלט שחלה עליה בשכר הממוצע במשק?. אדם חושד שחברת ממתקים לא עומדת בהתחייבויותיה, ומשקלו של חטיף מסוים אותו הוא קונה מדי בוקר נמוך מ 00 גרם. חברת הממתקים טוענת מצידה שהיא אכן עומדת בהתחייבויותיה. ידוע כי סטית התקן של משקל החטיף היא גרם. האדם מתכוון לשקול 00 חפיסות חטיפים ולאחר מכן להגיע להחלטה. לאחר הבדיקה הוא קיבל משקל הממוצע של 98.5 גרם. א. רשמו את השערות המחקר..3 ב. ג. ד. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה דוחים את השערת האפס? מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה נקבל את השערת האפס? מה המסקנה ברמת מובהקות של 5? מכונה לחיתוך מוטות במפעל חותכת מוטות באורך שמתפלג נורמאלית עם תוחלת אליה כוונה המכונה וסטיית תקן ס"מ. ביום מסוים כוונה המכונה לחתוך מוטות באורך 80 ס"מ. אחראי האיכות מעוניין לבדוק האם המכונה מכוילת. לצורך כך נדגמו מקו הייצור 6 מוטות שנחתכו אורכן הממוצע היה 8.7 ס"מ. א. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה נכריע שהמכונה לא מכוילת? ב. אם נוסיף עוד תצפית שערכה יהיה 8 ס"מ, כיצד הדבר ישפיע על התשובה של הסעיף הקודם? ג. הכרע ברמת מובהקות של 5% האם המכונה מכוילת..4

133 33 אם מקבלים בחישובים אלפא מינימלית value) P) קטנה מאוד, סביר להניח כי החוקר ידחה את השערת האפס בקלות. נכון? לא נכון? נמק..5 בבדיקת השערות התקבל שה-. p-value=0.0 מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות %? בחר בתשובה הנכונה. א. יקבל את השערת האפס בכל מקרה..6 ב. ידחה את השערת האפס מקרה. ג. ידחה את השערת האפס רק אם המבחן הנו דו צדדי. ד. לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים. מובהקות התוצאה PV) ) היא גם : ) בחר בתשובה הנכונה ( א. רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס. ב. רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס. ג. רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר. ד. רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס..7 בבדיקת השערות מסוימת התקבל value=0.054 p הנכונה): ב. ג. ד. א. ברמת מובהקות של 0.0 אך לא של 0.05 ברמת מובהקות של נדחה את.H ושל 0.05 לא נדחה את H. 0 ברמת מובהקות של 0.05 אך לא של 0.0 ברמת מובהקות של נדחה את.H ושל 0.05 נדחה את.H 0 לכן (בחר בתשובה.8

134 34 פתרונות : שאלה : 0.08 שאלה : עבור כל רמת מובהקות סבירה. שאלה 3: ב ג ד. נכריע שיש עמידה בהתחייבות של החברה. שאלה 4: א. יקטן. ב. נכריע שאין כיול. ג. שאלה 5: נכון שאלה 6: תשובה :א שאלה 7: תשובה: א שאלה 8: תשובה: ג

135 35 בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה רקע: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 0 H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה:.7 תנאים: σאינה ידועה X או מדגם מספיק גדול N.8 t x ( ) > t α t x < t ( ) α t x < t ( ) α t x ( ) > t α כלל ההכרעה: או : H 0 אזור הדחייה של t α, - דוחים את H 0 t α, H 0 - דוחים את t α α,, H 0 t - דוחים את X > µ + t 0 α S X > µ t 0 α S X X > µ + t 0 0 α < µ t α S חלופה לכלל הכרעה : נדחה H 0 אם מתקיים: או S S = סטטיסטי המבחן : t x x µ 0 = S ( ) X X X i X i i= i= =

136 36 התפלגות T: הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא 0. ההתפלגות דומה להתפלגותZרק שהיא יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים. התפלגותTתלויה במושג שנקרא דרגות חופש. דרגות החופש הן.df=- ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה. כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות T שואפת להיות כמו התפלגות Z. דוגמה: (פתרון בהקלטה) מפעל קיבל הזמנה לייצור משטחים בעובי של 0. ס"מ. כדי לבדוק האם המפעל עומד בדרישה נדגמו 0 משטחים ונמצא שהעובי הממוצע הוא 0.04 עם אומדן לסטיית תקן 0.00 ס"מ. א. מהן השערות המחקר? ב. מה ההנחה הדרושה לצורך פתרון? ג. בדוק ברמת מובהקות של 5%.

137 37 תרגילים: משך זמן ההחלמה בלקיחת אנטיביוטיקה מסוימת הוא 0 שעות בממוצע עם סטיית תקן לא ידועה. מעוניינים לבדוק האם אנטיביוטיקה אחרת מקטינה את משך זמן ההחלמה. במדגם של 5 חולים שלקחו את האנטיביוטיקה האחרת התקבלו זמני ההחלמה הבאים: 90,95,00,80,5 שעות. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%. מהי ההנחה הדרושה לצורך הפתרון?. משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל 3300 גר'. משרד הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך מהממוצע. במחקר השתתפו 0 נשים מעשנות בהריון. להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל של התינוקות בעת הלידה: = 0 x= 30 S = 80. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5% מה יש להניח לצורך פתרון? ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמלית. בארה"ב ממוצע הציונים הוא 00. במדגם שנעשה על 3 נבחנים ישראלים, התקבל ממוצע ציונים 04.5 וסטיית התקן המדגמית 6.האם בישראל ממוצע הציונים שונה מבארה"ב? הסיקו ברמת מובהקות של 5%..3 באוכלוסייה מסוימת נדגמו 0 תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות: 0 Xi = 750 i= 0 ( Xi X ) = 900 i= נתון שההתפלגות היא נורמלית. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם התוחלת של ההתפלגות שונה מ

138 38 ליאור ורוני העלו את אותן השערות על ממוצע האוכלוסייה. כמו כן הם התבססו על אותן תוצאות של מדגם. ליאור השתמש בטבלה של התפלגות רוני השתמשה בטבלה של התפלגות. Z. t מה נוכל לומר בנוגע להחלטת המחקר שלהם? א. אם ליאור ידחה את השערת האפס אז גם בהכרח רוני. ב. אם רוני תדחה את השערת האפס אז גם בהכרח ליאור. ג. שני החוקרים בהכרח יגיעו לאותה מסקנה. בחר בתשובה הנכונה. ד. לא ניתן לדעת על היחס בין דחיית השערת האפס של שני החוקרים..5 X נתון ש ), µσ N( כמו כן נתונות ההשערות הבאות : H : µ = µ 0 0 H : µ < µ חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל 0 תצפיות. σלא הייתה ידועה לחוקר. החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של 5% לאחר מכן כדי לחזק את קביעתו הוא דגם עוד 5 תצפיות ושקלל את תוצאות אלה גם למדגם כך שכלל עכשיו 5 תצפיות. בחר בתשובה הנכונה: א. כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס. ב. כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס. ג. כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו.

139 39 פתרונות: שאלה : נדחה H 0 שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נקבל שאלה 4: H 0 נקבל שאלה 5: התשובה היא : ב שאלה 6: התשובה היא : ג

140 40 מובהקות התוצאה ) p-value ( כאשר שונות האוכלוסייה לא ידועה רקע: נזכיר שהמסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: H 0 pv אם α דוחים את p v = מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת האפס. P H 0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) אם ההשערה היא דו צדדית : (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני ( P p = v H 0 מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 0 H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה:.9 תנאים: σאינה ידועה X או מדגם מספיק גדול N.0 P ( ) H 0 X x P ( ) H 0 X x P ( X x) אם x > µ H0 0 P ( X x) אם x < µ H0 0 p-value t x = x µ 0 S S = ( ) X X X i X i i= i= = d. f =

141 4 דוגמה : (פתרון בהקלטה) ממוצע זמן הנסיעה של אדם לעבודה הינו 40 דקות. הוא מעוניין לבדוק דרך חלופית שאמורה להיות יותר מהירה. לצורך כך הוא דוגם 5 ימים שבהם הוא נוסע בדרך החלופית. זמני הנסיעה שקיבל בדקות הם : 7,34,3,40,30. הנח שזמן הנסיעה מתפלג נורמלית. א. רשום את השערות המחקר. ב. ג. מצא חסמים למובהקות התוצאה. מה המסקנה ברמת מובהקות של? 5%

142 4 תרגילים : קו ייצור אריזות סוכר נארזות כך שהמשקל הממוצע של אריזות הסוכר צריך להיות אחד קילוגרם. בכל יום דוגמים מקו הייצור 5 אריזות במטרה לבדוק האם קו הייצור תקין. בבדיקה דגמו 5 אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים: 008,04,996,005,997 א. רשמו את השערות המחקר. ב. מהי מובהקות התוצאה? הצג חסמים. ג. מה המסקנה ברמת מובהקות של 5%?. חוקר בדק את הטענה כי פועלים העובדים במשמרת לילה איטיים יותר מפועלים העובדים ביום. ידוע כי משך הזמן הממוצע הדרוש לייצר מוצר מסוים ביום הוא 6 שעות. במדגם מיקרי של 5 פועלים שעבדו במשמרת לילה נמצא כי הזמן הממוצע לייצר אותו מוצר הוא 7 שעות עם סטית תקן של 3 שעות. מהי ה- α המינימלית שלפיה ניתן להחליט שאכן העובדים במשמרת לילה איטיים יותר?. הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית. במדגם של 5 מתגייסים מדדו את הגבהים שלהם בס"מ והתקבלו התוצאות הבאות: x = 76. ( x x) = 83 i מטרת המחקר היא לבדוק האם תוחלת הגבהים של המתגייסים גבוה מ- 74 ס"מ באופן מובהק. מהי בקרוב מובהקות התוצאה ועל פיה מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של? 6%.3

143 43 פתרונות : שאלה 3: H 0 נקבל

144 44 הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת רקע: ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות αעל : H H 0 : µ = µ : µ µ 0 0 על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של α ל : µ 0 אם נופל ברווח נקבל את H 0 µ 0 אם לא נופל ברווח נדחה את H 0 דוגמה: (פתרון בהקלטה) חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת. להלן השערותיו: H 0 : µ = 80 H : µ 80 α = 5%. החוקר בנה רווח סמך ברמה של 90% וקיבל : 84 < µ >79 האם אפשר לדעת מה מסקנתו, ואם כן מהי?

145 45 תרגילים : 0 חוקר רצה לבדוק את ההשערות הבאות: H : µ = 90 H : µ 90 החוקר בנה רווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 95% וקיבל את רווח הסמך הבא: אם החוקר מעוניין לבצע בדיקת השערות ברמת מובהקות של % האם ניתן להגיע למסקנה ע"ס רווח הסמך? נמקו.. (87,97). חוקר מעוניין לבדוק השפעת דיאטה חדשה על רמת הסוכר בדם. ידוע כי מספר מיליגרם הסוכר בסמ"ק דם הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלית עם סטיית תקן 0.4 מ"ג. נלקח מדגם של 60 נבדקים שניזונו מדיאטה זו. נמצא כי ממוצע מספר המיליגרם סוכר היה 5.5 מ"ג לסמ"ק. א. בנה רווח סמך ברמת סמך 95% לתוחלת רמת הסוכר בדם אצל הניזונים מדיאטה זו. ב. ידוע שתוחלת רמת הסוכר בדם באוכלוסיה היא 90 מ"ג לסמ"ק. האם לדעתך ניתן להסיק על סמך תוצאת סעיף א שהדיאטה משפיעה על רמת הסוכר בדם? הסבר.. יצרן אנטיביוטיקה רושם על גבי התרופות שכמות הפנצלין היא 00 מ"ג לקפסולה. משרד הבריאות ביצע מדגם של 8 קפסולות אקראיות מקו הייצור ומצא שבממוצע יש 96 מ"ג פנצילין לקפסולה עם סטיית תקן מדגמית של של 5 מ"ג. בהנחה וכמות הפנצלין בקפסולה מתפלגת נורמלית. א. בנה רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע כמות הפנצלין לקפסולה המיוצרת על ידי יצרן האנטיביוטיקה. ב. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם יש אמת באינפורמציה המסופקת על ידי היצרן..3

146 46 פתרונות : H 0 שאלה :. נקבל השערת שאלה :. 87 µ 8. א. 3 ב. נכריע שהדיאטה משפיעה על תוחלת רמת הסוכר בדם. שאלה 3: 9. 8 µ 00. א. ב. נכריע שיש אמת בפרסום.

147 47 רקע: פרק - 5 בדיקת השערות על פרופורציה התהליך H : p= p 0 0 H : p> p 0 Z pˆ > Z α H : p= p 0 0 H : p< p 0 Z p ˆ < Z α H H 0 : p= p : p p 0 0 ˆ p Z או 0 0 p 5 & ( p ) 5 Z p ˆ < Z > Z α α השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: כלל ההכרעה: אזור הדחייה של : Z α H 0 - דוחים את Z α H 0 - דוחים את Z Z α α H 0 - דוחים את סטטיסטי המבחן : pˆ p0 Z p ˆ = p0( p0) חלופה אחרת לכלל הכרעה: pˆ > p + Z α 0 p 0 ( p ) 0 pˆ < p0 Z α p 0 ( p ) 0 pˆ p + Z > 0 α / pˆ < p0 Z α / ( p ) כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או p p ( p ) 0 H 0

148 48 דוגמה: (פתרון בהקלטה) בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא 8% במדגם עכשווי התקבל שמתוך 00 אנשים 6.5% מובטלים. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם כיום אחוז האבטלה הוא כמו בתחילת השנה.

149 49 תרגילים: במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה 5%. השנה מתוך מדגם של 0 מועמדים התקבלו. ברמת מובהקות של 5% האם השנה הקשו על תנאי הקבלה?. במדגם של 300 אזרחים 57% מתנגדים להצעת חוק מסוימת. לאור נתונים אלה האם רוב האזרחים מתנגדים להצעת החוק? בדקו ברמת מובהקות של 0%.. 3. הטילו מטבע 50 פעמים וקיבלו 8 פעמים עץ. האם המטבע הוגן ברמת מובהקות של 5%? קפיטריה במכללה מסוימת מעריכה כי אחוז הסטודנטים שקונים קפה בקפיטריה הינו 0%. נערך סקר אשר כלל 00 סטודנטים. התברר כי 33 מהם רוכשים קפה בקפיטריה. מטרת הסקר הייתה לבדוק את אמיתות הערכה של הקפיטריה. א. רשמו את ההשערות. ב. בדוק את ההשערות ברמת מובהקות של 0%. ג. מה תהיה המסקנה אם נקטין את רמת המובהקות?.4 חבר כנסת רוצה להעביר חוק. לצורך כך הוא דוגם 400 אזרחים במטרה לבדוק האם רוב האזרחים תומכים בחוק. במדגם התקבל ש- 76 אזרחים תומכים בחוק. א. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%? ב. האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה אם רמת המובהקות תהיה גדולה יותר? הסבירו..5 שני חוקרים בדקו את ההשערות הבאות: H :p= p 0 0 H :p> p 0 חוקר א השתמש ברמת מובהקות α α וחוקר ב ברמת מובהקות החוקר הראשון דחה את.6 H 0 ואילו החוקר השני קיבל את בחר בתשובה הנכונה: א.. H 0 שניהם התבססו על אותם תוצאות של מדגם. α= α α> α α< α ב. ג. ד. המצב המתואר לא אפשרי.

150 50 פתרונות : שאלה : H 0 נדחה שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נקבל שאלה 4: H 0 ב. נקבל ג. המסקנה לא תשתנה. שאלה 5: H 0 א. נדחה ב. המסקנה לא תשתנה. שאלה 6: התשובה היא : ג.

151 5 רקע: סיכוי לטעויות ועוצמה הכרעה מציאות H0 H טעות מסוג אין טעות H0 אין טעות טעות מסוג H נגדיר את ההסתברויות הבאות: הסיכוי לבצע טעות מסוג ) רמת מובהקות ): נכונה לדחות את α=p(h 0 H 0 )= הסיכוי לבצע טעות מסוג : β נכונה לקבל את =P(H 0 H )= (-α) נכונה לקבל את =P(H 0 H 0 )= רמת בטחון: π=(-β ) נכונה לדחות את =P(H 0 H ) = עוצמה :

152 5 התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני: H : p= p 0 0 H : p> p 0 H : p= p 0 0 H : p< p 0 H 0 : p= p 0 H : p p p 5 & ( p ) 5 השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: ( p ) p0 0 pˆ > p0 + Z α pˆ < p Z α 0 p 0 ( p ) 0 pˆ > p + Z α 0 pˆ < p Z α 0 / / ( p ) כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או p p ( p ) 0 H 0 P pˆ p Z ( p ) 0 0 ( < + ) H 0 α p P pˆ p Z ( p ) 0 0 ( > 0 ) H α p ( ) ( ) p p p p P ( p Z < pˆ < p + Z ) H 0 α 0 α חישוב : β ˆ p( p) P ~ N( p, ) כאשר : Z pˆ = pˆ p p ( p) והתקנון:

153 53 דוגמה: (פתרון בהקלטה) רופאי שיניים טוענים שיותר ממחצית האוכלוסייה הבוגרת בארץ אינם מבקרים אצל רופא שיניים באופן קבוע, כנדרש. כדי לבדוק טענה זו, נערך סקר בקרב 50 אנשים בוגרים. א. רשמו את ההשערות וכלל הכרעה ברמת מובהקות של 0%. ב. מהי עוצמת המבחן אם מסתבר ש 60% מהאוכלוסייה אינם מבקרים אצל רופא שיניים באופן קבוע.

154 54 תרגילים: משרד הבריאות פרסם ש 0% מתושבי המדינה סובלים ממחלת האסטמה. מחקר דורש לבדוק האם בחיפה, בגלל זיהום האוויר, שיעור הסובלים מאסטמה גבוה יותר. לצורך המחקר נבדקו 60 מתושבי חיפה. א. רשמו את השערות המחקר, וצרו מבחן ברמת מובהקות של 5% לבדיקתן. ב. מהי עצמת המבחן של סעיף א' בהנחה ובחיפה 6% מהתושבים סובלים מאסטמה? ג. כיצד תשנה התשובה לסעיף ב' אם מסתבר שבחיפה 8% סובלים מאסטמה? ד. בהמשך לסעיף א' האם נכון לומר שבהסתברות של 5% ההשערה שבחיפה 0% מהתושבים סובלים מאסטמה אינה נכונה? אחוז הסובלים מתופעות הלוואי מתרופה מסוימת הוא 5%. חברת תרופות טוענת שפיתחה תרופה שאמורה לצמצם את אחוז הסובלים מתופעות לוואי. לצורך בדיקת הטענה הוחלט לבצע מחקר שיכלול 0 חולים שיקבלו את התרופה הנבדקת. א. נניח שהתרופה נבדקת אכן מורידה את פרופורציות הסובלים מתופעות הלוואי ל- 0% מהי עצמת המבחן עבור רמת מובהקות של 5%?.. בעיר מסוימת היו 0% אקדמאים. בעקבות פתיחת מכללה בעיר לפני כמה שנים מעוניינים לבדוק האם אחוז האקדמאים גדל. מעוניינים שהמחקר יכלול 00 אנשים והוא יהיה ברמת מובהקות של 5%. א. חשבו את הסיכוי לבצע טעות מסוג שני בהנחה והיום יש 8% אקדמאים. ב. כיצד התשובה לסעיף הקודם תשתנה אם נגדיל את רמת המובהקות?.3 מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים. הוחלט לדגום 00 מתקבלים ועל סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת. חוקר א' קבע רמת מובהקות של 5% וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו לפחות 0 בנים. למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?.4 חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן ) בחר בתשובה הנכונה ( א. השערת האפס נכונה. ב. השערת האפס נדחתה. ג. השערת האפס לא נדחתה. ד. אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח קבע אם הטענה הבאה נכונה: "בבדיקת השערות לא ניתן לבצע בו זמנית טעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני"

155 55 שאלה : ב ג. תגדל ד. טענה לא נכונה. פתרונות: שאלה : שאלה 3: א ב. תקטן. שאלה 4: חוקר א. שאלה 5: התשובה הנכונה היא ג. שאלה 6: נכונה.

156 56 רקע: קביעת גודל מדגם H : p= p 0 0 H : p= p השערות המחקר הן : מעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על αוהסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי : Z α p0q0 + Z pq β p0 p דוגמה: (פתרון בהקלטה) רוצים לבדוק האם אחוז האנשים השוהים בשמש ללא הגנה ירד בעקבות הפרסומת על נזקי השמש. בעבר 60% מהאוכלוסייה שהתה בשמש ללא הגנה. מה גודל המדגם המינימלי שיש לקחת כדי לבדוק שהאחוז הנ"ל ירד ל 48% אם מעוניינים שהסיכוי לטעות מסוג ראשון יהיה 5% והסיכוי לטעות מסוג שני יהיה %?

157 57. תרגילים: משרד התמ"ת פרסם שאחוז האבטלה במשק היום עומד על 8%. לעומתו, משרד הפנים טוען שחלה עלייה בשיעור האבטלה עד לכדי %. כדי לבדוק מי מבניהם צודק, מה צריך להיות גודל המדגם שיענה על שני התנאים הבאים: אם משרד התמ"ת צודק, נדחה את טענתו בסיכוי של 0%. אם משרד הפנים צודק, נדחה את טענתו בסיכוי של 4%. מפעיל קזינו מפרסם שהסיכוי לזכות במכונת מזל הינו 0.4. אדם טוען שהסיכויים לזכות במשחק נמוכים יותר. כמה פעמים יש לשחק את המשחק כדי שאם טענת מפעיל הקזינו נכונה נקבל את טענת האדם בסיכוי של % ואם במציאות הסיכוי לזכות במכונה הוא 0.3 נקבל את מפעיל הקזינו בסיכוי של 8%..

158 58 פתרונות: שאלה : 89 שאלה : 4

159 59 מובהקות התוצאה רקע: דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה, היא דרך חישוב מובהקות התוצאה:. p v באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב- את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת,את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב רק אחרי שיהיו לו את התוצאות. המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: H 0 pv אם α דוחים את מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת האפס. p v = H0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) P אם ההשערה היא דו צדדית : p v = H0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) P מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : p= p 0 0 H : p> p 0 H : p= p 0 0 H : p< p 0 H H 0 : p= p : p p p 5& ( p ) 5 השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: P ( Pˆ pˆ ) H0 P ( Pˆ pˆ ) H0 P ( Pˆ pˆ ) pˆ > p H0 0 P ( Pˆ pˆ ) pˆ < p H0 0 אם אם p-value p ( p ) ˆ 0 0 ~ N( p0, ) P כאשר בהנחת השערת האפס : והתקנון: pˆ p0 Z p ˆ = p0 0 ( p )

160 60 דוגמה: (פתרון בהקלטה) ישנה טענה שיש הבדל בין אחוז הבנים ואחוז הבנות הפונים ללמוד להנדסאי מחשבים. לשם כך נלקח מדגם מקרי של 00 תלמידים הלומדים מחשבים והתברר כי מהם בנים. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה המסקנה ברמת מובהקות של 5%?

161 6 תרגילים: במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה 5%. השנה מתוך מדגם 0 מועמדים התקבלו. רוצים לבדוק האם השנה הקשו על תנאי הקבלה. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של % וברמת מובהקות של 5%? של. נהוג לחשוב ש 60% מהילדים בגיל שלוש קמים מהמיטה במהלך הלילה לפחות פעם אחת. ישנה טענה שללא שנת צהריים פחות מ 60% מהילדים בגיל זה יקומו לפחות פעם אחת במהלך הלילה. נדגמו 80 ילדים בגיל 3 אשר אינם ישנים בצהריים מתוכם התקבל ש 4 קמו במהלך הלילה. א. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה תתקבל הטענה במחקר? ב. מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה לא תתקבל טענת המחקר? ג. עבור אילו רמות מובהקות נקבל את טענת המחקר? ד. מה תהיה מסקנת המחקר ברמת מובהקות של 6%?. במטרה לבדוק האם מטבע הוא הוגן מטילים אותו 80 פעמים. התקבל ש 60 מההטלות הראו עץ. רשמו את השערות המחקר, חשבו את מובהקות התוצאה והסיקו מסקנה ברמת מובהקות של 5%..3 בבדיקת השערות על פרופורציה התקבל שה-. p-value=0.0 מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות 5%: ) בחר בתשובה הנכונה) א. יקבל את השערת האפס ב. ידחה את השערת האפס. ג. לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים..4 קבע אם הטענה הבאה נכונה: "במבחן לבדיקת השערות חד-צדדי התקבל ערך p-value של 3% לכן אם היינו מבצעים מבחן דו-צדדי (כאשר יתר הנתונים ללא שינוי) היינו מקבלים ערך p-value של 6%".5 6. במפעל 0% מהעובדים נפגעים לפחות פעם אחת בשנה מתאונות עבודה. לאור זאת, המפעל החליט לצאת בתוכנית לצמצום שיעור הנפגעים. תכנית זו נוסתה על 00 עובדים. מתוכם נפגעו בתאונות עבודה במשך השנה. מהי רמת המובהקות הקטנה ביותר עבורה יוחלט שהתכנית יעילה?

162 6 פתרונות : שאלה : א שאלה : א ב ג. מעל ד. נכריע לטובת טענת המחקר. שאלה 3: p = 0 v שאלה 4: התשובה הנכונה: ב שאלה 5: הטענה נכונה שאלה 6:

163 63 H : p p = 0 0 H : p p > 0 Z > Z α pˆ pˆ פרק - 6 בדיקת השערות על הפרש פרופורציות H : p p = 0 0 H : p p < 0. מדגמים גדולים Z < Z α pˆ pˆ H : p p = 0 0 H : p p 0 רקע: השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: כלל ההכרעה: אזור הדחייה של :.מדגמים בלתי תלויים Z או pˆ pˆ Z pˆ pˆ < > Z α Z α Z α H 0 - דוחים את Z α H 0 - דוחים את Z Z α α H 0 - דוחים את y + y p + p ˆp = = + + ˆ ˆ סטטיסטי המבחן : כאשר הפרופורציה המשוקללת: pˆ pˆ Z p ˆ p ˆ = H 0 pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ + חלופה אחרת לכלל הכרעה: pq ˆ ˆ pˆ qˆ pˆ ˆ p > 0+ Z α + pq ˆ ˆ pˆ qˆ pˆ ˆ p < 0 Z α + pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ ˆ p > 0+ Z α / + כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או pq ˆ ˆ pˆ qˆ pˆ ˆ p < 0 Z α / + H 0 p q p q pˆ pˆ N( p p, + ) Z Z pˆ pˆ pˆ pˆ H 0 pˆ pˆ ( p p) = pˆ ˆ ˆ ˆ q pq + = pˆ ˆ p pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ + : pˆ pˆ התפלגות של : תקנון:

164 64 דוגמה: (פתרון בהקלטה) נדגמו 80 סטודנטים שנבחנו במיקרו-כלכלה. מתוכם 60 עברו את הבחינה. נדגמו 00 סטודנטים שנבחנו בסטטיסטיקה א'. מתוכם 8 עברו את הבחינה. האם שיעור העוברים את הבחינה בסטטיסטיקה גבוה מאשר מהבחינה במיקרו כלכלה? בדקו ברמת מבוהקות של 0%.

165 65 במדגם של 00 תרגילים: גברים. 8% מהם היו מובטלים. המדגם של 80 נשים 0% מהן היו מובטלות האם קיים הבדל מובהק בין פרופורציית המובטלים לפרופורציית המובטלות. בדוק ברמת מובהקות של 5%.. אחוז בעלי רישיון נהיגה בקרב האוכלוסייה הבוגרת הינו 60%. במדגם של 300 בוגרים מתל אביב 04 היו בעלי רישיון נהיגה. במדגם של 0 בוגרים מירושלים 00 היו בעלי רישיון נהיגה. א. ברמת מובהקות של 5% האם תקבלו את הטענה שאחוז בעלי הרישיון בתל אביב גבוה מהאחוז הארצי? ב. ברמת מובהקות של 0% האם תקבלו את הטענה שאחוז בעלי הרישיון נהיגה בתל אביב גבוה מאחוז בעלי רישיון הנהיגה בירושלים?. נדגמו 500 בוגרים מתוכם 00 גברים והיתר נשים. במדגם התקבל : מתוך הגברים ל- 48% תעודת בגרות. מתוך הנשים ל- 58% תעודת בגרות. מטרת המחקר היא לבדוק האם שיעור הזכאיות לבגרות גבוה משיעור הזכאים. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של 8%?.3 במדגם שנערך על 00 פרות מחוות בדרום הארץ התקבל כי 0 פרות נושאות וירוס מסוים. במדגם שנערך על 00 פרות מחוות בצפון הארץ התקבל כי 0 מתוכן נושאות וירוס גם כן. א. בנו מבחן ברמת מובהקות של 5% לבדיקת הטענה כי הווירוס תקף את פרות הדרום באופן משמעותי יותר מאשר את הפרות בצפון הארץ. ב. מהי המסקנה לבדיקת הטענה של סעיף א ומהי הטעות האפשרית במסקנה? ג. מהי עוצמת המבחן אם שיעור הפרות בדרום עם הווירוס גבוה ב 0% משיעור הפרות בצפון עם הווירוס? ד. כיצד העוצמה תשתנה אם נגדיל את רמת המובהקות?.4

166 66 פתרונות : שאלה : לא H 0 נדחה את שאלה : H 0 א. נדחה ב. נדחה H 0 שאלה 3: א H 0 ב. נדחה שאלה 4: H 0 ב. נדחה ג ד. תגדל

167 67 פרק - 7 בדיקת השערות על הפרש תוחלות במדגמים בלתי תלויים H H µ µ = c 0 µ µ > c Z x x > α Z H H 0 רקע: השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות µ µ = c µ µ < c Z x < x Z α H H µ µ = c 0 µ µ c Z. תנאים: מדגמים בלתי תלויים σ, σ ידועות. X, X N. 3 כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או מדגמים מספיק גדולים x x α > Z או Z < Z x x α : H 0 H 0 Z α - דוחים את Z α H 0 - דוחים את Z α α H 0 Z - דוחים את סטטיסטי המבחן : x x c Z x x = σ σ + חלופה אחרת לכלל הכרעה: σ σ x x > c+ Z α + σ σ x x < c Z α + σ σ x x > c+ Z α / + נדחה H 0 אם מתקיים: או σ σ x x < c Z α / + התפלגות הפרש הממוצעים : σ σ x x ~ N( µ µ, + ) x x x x ( µ µ ) = σ σ + Z התקנון :

168 68 דוגמה : (פתרון בהקלטה) בשנת 004 הפער בין השכר הממוצע של הגברים לנשים היה 3000 לטובת הגברים. מעוניינים לבדוק האם כיום הצטמצם הפער בין הגברים לנשים מבחינת השכר הממוצע. נדגמו 00 עובדים גברים. שכרם הממוצע היה. 9,07 נדגמו 80 עובדות, שכרן הממוצע היה לצורך פתרון נניח שסטיות התקן של השכר ידועות ושוות ל- 000 באוכלוסיית הנשים ו באוכלוסיית הגברים. מה המסקנה ברמת מבוהקות של 5%?

169 69 תרגילים : מחקר טוען שאנשים החיים במרכז הארץ צופים בממוצע בטלוויזיה יותר מאנשים שלא חיים במרכז. נדגמו 00 אנשים מהמרכז ו- 07 אנשים לא מהמרכז. אנשים אלו נשאלו כמה שעות ביום הם נוהגים לצפות בטלוויזיה. במדגם של מרכז הארץ התקבל ממוצע.7 שעות. במדגם של מחוץ למרכז הארץ התקבל ממוצע.8 שעות. לצורך פתרון הניחו שבכל אזור, סטיית התקן היא שעה ביום. בדקו את טענת המחקר ברמת מובהקות של %.. ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 00. מכון ללימוד פסיכומטרי טוען שהוא יכול לשפר את ממוצע הציונים ביותר מ- 30 נקודות. במדגם של 0 נבחנים שניגשו למבחן ללא הכנה במכון התקבל ממוצע 508. במדגם של 5 נבחנים שעברו הכנה במכון התקבל ממוצע ציונים 56. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%.. במדגם אקראי של 0 ימים נבדקה התפוקה של מפעל ביום. התפוקה הממוצעת הייתה של 340 מוצרים ליום. במדגם אקראי של 0 ימים אחרים נבדקה התפוקה של המפעל בלילה והתפוקה הממוצעת הייתה 95. לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של התפוקה ביום היא 40 מוצרים ובלילה 30 מוצרים. א. מהי מובהקות התוצאה לבדיקה האם התפוקה הממוצעת היומית גבוהה מהתפוקה הממוצעת הלילית. ב. מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של 8%?.3 במחקר מקיף שנעשה באירופה נקבע שגברים גבוהים מנשים ב- 8 ס"מ בממוצע. מחקר ישראלי מתעניין לבדוק האם בישראל הפער גדול יותר. לצורך המחקר נדגמו 40 גברים ו 40 נשים באקראי. כמו כן, נניח שסטיות התקן של הגברים והנשים ידועות ושוות ל- 6 ס"מ אצל הנשים. ו- ס"מ אצל הגברים. א. מהן השערות המחקר ומהו כלל ההכרעה ברמת מובהקות של 0%? ב. אם בישראל הפער בין גברים לנשים מבחינת הגובה הממוצע הוא ס"מ, מה ההסתברות שהמחקר לא יגלה זאת? איך קוראים להסתברות הזאת?.4

170 70 שאלה : נדחה פתרונות: H 0 שאלה : לא נדחה את H 0 שאלה 3: א. 0 H 0 ב. נדחה שאלה 4: א. נדחה H 0 אם במדגם הגברים יהיו גבוהים בממוצע מהנשים ביותר מ- 0.7 ס"מ. ב

171 7 H H µ µ = c 0 µ µ > c רקע: השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחים שהן שוות H H µ µ = c 0 µ µ < c H H µ µ = c 0 µ µ c 4. מדגמים בלתי תלויים σלא, σ ידועות אך שוות.5. 6 המשתנים בכל אוכלוסייה מתפלגים נורמלית t x x > t ( + α ) t x x < t ( + ) α t x x < t ( + ) α : H 0 אזור הדחייה של או t x x > t ( + α ) t α, + - דוחים את H 0 t α, + H 0 - דוחים את t α, +, + H 0 t α - דוחים את סטטיסטי המבחן : S ( ) + ( ) S S p = + t השונות המשוקללת : x x = ( ) x x c S S + p p חלופה אחרת לכלל הכרעה: p p ( + ) S S x x > c+ t α + p p ( + ) S S x x < c t α + ( + ) α p p S S x x > c+ t + נדחה H 0 מתקיים: אם או ( + ) α p p S S x x < c t +

172 7 דוגמה : (פתרון בהקלטה) חברה המייצרת מוצרי בנייה טוענת שפיתחה סגסוגת (תערובת מתכות) שטמפרטורת ההתכה שלה גבוהה משמעותית מטמפרטורת ההתכה של הסגסוגת לבנייה שמשתמשים בה כיום לבניית בניינים. לצורך בדיקת טענת המחקר נדגמו 0 יחידות של מתכות מהסוג הישן ו- יחידות של מתכות מהסוג החדש. להלן תוצאות המדגם: טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת הישנה 70 מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות. S = 00 טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת החדשה 37 מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות. S = 60 נניח לצורך פתרון שטמפרטורת ההתכה מתפלגת נורמאלית עם אותה שונות במתכות השונות. בדקו ברמת מובהקות של 5%.

173 73 תרגילים:. להלן נתונים של שטחי דירות מתוך דירות שנבנו בשנת 0 ובשנת 03 (מטרים רבועים): בדקו שבשנת 03 הייתה ירידה משמעותית בשטחי הדירות לעומת שנת 0 עבור רמת מובהקות של 5%.הניחו ששטחי הדירות בכל שנה מתפלגים נורמלית עם אותה שונות. נדגמו 5 ישראלים ו- 5 אמריקאים. כל הנדגמים נגשו למבחן.IQ להלן תוצאות המדגם: המדינה גודל המדגם סכום הציונים סכום ריבועי הציונים ישראל 5 ארה"ב , ,390. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם קיים הבדל של נקודה בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע הציונים במבחן ה- IQלטובת ישראל. רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל. להלן תוצאות מדגם הבדק אורך חיים של נורות מסוג W60 ומסוג W00. אורך החיים נמדד בשעות..3 W W ה א. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם נורות מסוג W60 דולקות בממוצע יותר מאשר נורות מסוג W00. רשמו את כל ההנחות הדרושות לפתרון. ב. עבור איזו רמת מובהקות ניתן לקבוע שנורות מסוג Wדולקות 60 בממוצע יותר מאשר נורות מסוג W? 00 ג. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם נורות מסוג W 60 דולקות יותר מ 000 שעות. רשמו את כל ההנחות הדרושות.

174 74 פתרונות : H 0 שאלה : לא נדחה שאלה : שאלה 3: א. נדחה H 0 ב. רמות מובהקות של לפחות 5% ג. לא נדחה H 0

175 75 פרק 8 רקע: - בדיקת השערות על תוחלת ההפרשים במדגמים מזווגים (תלויים) בדיקת השערות למדגמים מזווגים H H 0 : : µ = C D µ > C D H H 0 : : µ = C D µ < C D H H 0 : : µ = C D µ C D השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: σ D.7 תנאים: אינה ידועה D או מדגם מספיק גדול N.8 td > ( ) t α td < ( ) t α td < ( ) t α td > ( ) t α כלל ההכרעה: או : H 0 אזור הדחייה של t α, t α, t α α,, t - דוחים את H 0 H 0 - דוחים את H 0 - דוחים את D> C+ t α SD D< C t α SD SD D> C+ t α חלופה לכלל הכרעה : נדחה H 0 אם מתקיים: או SD D< C t α סטטיסטי המבחן : t D D µ D = SD S = ( ) D D D i i D = i= i= D

176 76 דוגמה: (פתרון בהקלטה) חברה שיווקית מעוניינת לבדוק את טענת רשת השיווק "מגה בעיר" הטוענת שמחיריה נמוכים מהמחירים מרשת השיווק "שופרסל". לצורך בדיקה נבחרו באקראי 4 מוצרים שונים. המחירים נבדקו בשתי הרשתות. להלן המחירים: המוצר שמפו ג'ל כביסה עוגת גבינה לחם קפה נמס בקבוק יין גבינה בולגרית מגה בעיר 7 שופרסל בהנחה והמחירים מתפלגים נורמאלית בדקו ברמת מובהקות של 5% את טענת רשת "מגה בעיר".

177 77 תרגילים: מבחינת המחירים לשיחות בינ"ל. לחברת Y X במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין חברת נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. להלן התוצאות: Y X המדינה.4.5 ארה"ב. קנדה.9. הולנד 3. 3 פולין מצרים סין יפן. בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית בכל חברה, בדקו ברמת מובהקות של 5% קיים הבדל בין החברות מבחינת המחירים בממוצע? האם מכון המכין לפסיכומטרי טוען שהוא מעלה את ממוצע הציונים ביותר מ- 30 נקודות. 8 נבחנים נבדקו לפני ואחרי שהם למדו במכון. להלן התוצאות שהתקבלו: לפני אחרי מה מסקנתכם ברמת מובהקות 5%? הניחו שציוני פסיכומטרי מתפלג נורמלית.

178 78 נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן הציונים שלהם בסמסטר א' ו- ב': סטטיסטיקה ב סטטיסטיקה א פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב- 5 נקודות לעומת סמסטר א'. הנח שהציונים מתפלגים נורמלית. א. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שהשיפור הוא יותר מ 5 נקודות? ב. על סמך הסעיף הקודם, מהי רמת המובהקות המינימלית להכרעה שהשיפור הוא יותר מ- 5 נקודות? ג. לאור זאת, מה המסקנה ברמת מובהקות של? 0% לצורך בדיקת השפעת היפנוזה על לימוד אנגלית, נבחרו 0 זוגות תאומים זהים. אחד התאומים למד אנגלית בהשפעת היפנוזה, והשני ללא היפנוזה. לאחר מכן נערך לשניהם מבחן באנגלית. נניח שציוני המבחן מתפלגים נורמאלית ללא ידיעת השונות האמתית. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן ב. מבחן ג. מבחן Zלמדגם יחיד. Tלמדגם יחיד. Tלמדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן Tלמדגמים מזווגים..4

179 79 בתחנת טיפת חלב מסוימת יש שני מכשירי שקילה. על מנת להשוות בין שני המשקלים נדגמו 4 תינוקות. כל תינוק בן חודשיים נשקל בכל אחד מהמשקלים. להלן תוצאות השקילה (בק"ג): משקל במכשיר משקל במכשיר נניח שהמשקלים מתפלגים נורמלית. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן Zלמדגם יחיד. ב. מבחן Tלמדגם יחיד. ג. מבחן Tלמדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן Tלמדגמים מזווגים. כדי להשוות בין שני אצים נדגמו 5 תוצאות מריצת 00 מטר של כל אצן. זמני הריצה נרשמו ויש להניח שמתפלגים נורמלית. המטרה להשוות בין האצנים. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן Zלמדגם יחיד. ב. מבחן Tלמדגם יחיד. ג. מבחן Tלמדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן Tלמדגמים מזווגים..6

180 80 שאלה : לא נדחה פתרונות: H 0 שאלה : H 0 לא נדחה שאלה 3: א. 0. pv 0.5 ב. 0.5 ג. לא נדחה H 0 שאלה 4: התשובה היא ד. שאלה 5: התשובה היא ד. שאלה 6: התשובה היא ג.

181 8 רקע: פרק - 9 הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על הפרש תוחלות ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות α על : µ µ H : µ µ = C 0 H : µ µ C על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של α ל : µ µ H 0 אם C נופל ברווח נקבל את H 0 אם C לא נופל ברווח נדחה את H H α : µ 80 0 D = : µ 80 D = 5% דוגמה: (פתרון בהקלטה) חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת ההפרש במדגם מזווג. להלן השערותיו: החוקר בנה רווח סמך ברמה של 90% 78< µ D < 83 האם אפשר לדעת מה מסקנתו, ואם כן מהי?

182 8 תרגילים: נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן ציוניהם בסמסטר א' ו- ב': סטטיסטיקה א סטטיסטיקה ב א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב. ב. פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב- 5 נק' לעומת סמסטר א' האם יש אמת בפרסום? הוחלט להשוות הציונים אצל מרצה X ואצל מרצה Y. נבחרו באקראי 6 סטודנטים, 3 סטודנטים של מרצה X ו 3 סטודנטים של מרצה Y, עבורם התקבלו הציונים הבאים: מרצה X מרצה Y. א. ב. חשבו רווח סמך ברמת סמך 90% להפרש בין התוחלות של הציונים אצל שני המרצים. האם ברמת מובהקות של 0% נכריע שיש הבדל בין תוחלות הציונים אצל שני המרצים?

183 83 שאלות אמריקאיות: סטטיסטיקאי נתבקש לאמוד את הפרש הממוצעים של שני טיפולים לפי שני מדגמים מקריים בלתי תלויים. א. ב. ג. ד. הוא חישב רווח סמך להפרש ברמת סמך 0.98, וקיבל את הרווח אילו יתבקש החוקר לבדוק לפי אותם נתונים את ההשערות:. < µ µ < 4.5 = 0 µ, H : µ µ 0 ; H : µ ברמת מובהקות 0.05 מסקנתו תהיה: 0 לדחות את השערת האפס. לא לדחות את השערת האפס. שלא ניתן לדעת את המסקנה עבור רמת מובהקות שלא נתונות בשאלה סטיות התקן של האוכלוסיות, ולכן לא ניתן להסיק דבר במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות בינ"ל. נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. בהנחה והמחירים מתפלים נורמלית בנו רווח סמך לממוצע ההפרשים וקיבלו : >0.093 µ D רווח הסמך הוא ברמת סמך של 95%. < 0.45 לכן מסקנת המחקר היא : א. ב. ג. ברמת מובהקות של 5% לא נוכל לקבוע שקיים הבדל בין החברות. ברמת מובהקות של 5% נקבע שקיים הבדל מובהק בין החברות. של D. לא ניתן לדעת מה המסקנה ברמת מובהקות של 5% כיוון שלא נאמר מה ההגדרה

184 84 שאלה : א. פתרונות: 3.8 µ 9 D ב. נכריע שיש אמת בפרסום. שאלה : 8.5 µ µ א. 6.5 X Y ב. נכריע שאין הבדל. שאלה 3: התשובה היא ג. שאלה 4 התשובה היא א.

185 85 א. מבחן טיב התאמה פרק - 0 מבחני חי בריבוע במטרה לבדוק האם קובייה הוגנת, מטילים אותה 0 פעמים. התקבל 7 פעמים 3, פעמים 0, פעמים 5 3, פעמים 8 4, פעמים 5 ו- 7 פעמים 6. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?. מפעל מייצר סוכריות בצבעים כחול, אדום, ירוק וכתום. מעוניינים לבדוק שפרופורציית הסוכריות הכחולות גדולה פי מכל צבע אחר. לצורך כך נדגמו באקראי 00 סוכריות והתקבל: 70 כחולות, 50 אדומות, 40 ירוקות והיתר כתומות. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?. משרד החינוך טוען שבקרב השכירים במשק היחס בין השכירים בעלי השכלה נמוכה, תיכונית ואקדמאית הוא :: בהתאמה. במדגם של 00 שכירים התקבלו 56 אנשים בעלי השכלה נמוכה, 05 בעלי השכלה תיכונית והיתר בעלי השכלה גבוהה. ע"ס תוצאות המדגם האם התפלגות ההשכלה היא כמו שמשרד החינוך מפרסם? בדוק ברמת מובהקות של 5%..3 בפנס יש 4 סוללות. בבדיקה שנערכה ב- 400 הבאות: פנסים נמצאו סוללות פגומות לפי השכיחויות.4 מספר הסוללות הפגומות 0 3 ומעלה שכיחות מעוניינים לבדוק על סמך תוצאות מדגם אלה האם הסיכוי לסוללה פגומה הוא. 0% בדוק ברמת מובהקות של 5%.

186 86 ב. מבחן אי תלות במפעל עובד בשלוש משמרות.להלן מספר המוצרים הפגומים והתקינים בכל אחת מן המשמרות לפי מדגם שנעשה :. לילה ערב יום 50 פגומים תקינים האם קיים קשר בין טיב המוצר למשמרת שלו? הסיקו עבור רמת מובהקות = 0.05 α.. בקרב מדגם של 00 נשים 0 טענו שהן תצבענה למועמד R לראשות העיר. בקרב מדגם של 00 גברים 80 טענו שהם יצביעו למועמד R האם קיים הבדל בין דפוס ההצבעה של הנשים ושל הגברים? בדוק ברמת מובהקות של 5%. 3. בחנות בגדים A בדקו את התפלגות הצבעים של הבגדים הנמכרים ביום מסוים: צבע מספר הפריטים שחור לבן אדום כחול כמו כן בדקו את התפלגות הצבעים בחנות שכנה : B צבע מספר הכדורים שחור לבן אדום כחול א. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם התפלגות הצבעים בחנות A היא ביחס של 3::: לטובת הכחול. ב. בדוק ברמת מובהקות של.5% האם קיים הבדל בין החניות מבחינת התפלגות הצבעים של הפריטים הנמכרים.

187 87 תשובות סופיות - מבחני חי בריבוע פרק א'- מבחן טיב התאמה שאלה שאלה H 0 H 0 נקבל נקבל שאלה 3 שאלה 4 H 0 H 0 נקבל נדחה פרק ב' מבחן לאי תלות שאלה נקבל שאלה H 0 נדחה H 0 H 0 שאלה 3 א. נקבל H 0 נדחה ב.

188 88 פרק - מדדי קשר - מדד הקשר הלינארי (פירסון) רקע: המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם) של קו ישר בין שני משתנים כמותיים. מבחינת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומנה. בדרך כלל, X הוא המשתנה המסביר (הבלתי תלוי) ו Y הוא המשתנה המוסבר (התלוי).למשל, נרצה להסביר כיצד השכלה של אדם הנמדדת בשנות לימוד X מסבירה את ההכנסה שלו Y. במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ) או הבלתי תלוי ( ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה, ולכן רמת ההכנסה זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה המסביר אותו. בשלב הראשון, נהוג לשרטט דיאגרמת פיזור. זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב הקשר בין שני המשתנים. למשל, בבניין של 5 דירות בדקו את הנתונים הבאים: X - מס' חדרים בדירה. Y מ- ס' נפשות הגרות בדירה. להלן התוצאות שהתקבלו: מס' דירה X Y נשרטט מנתונים הללו דיאגרמת פיזור :

189 89 נתבונן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וננתח אותן :

190 90 בשלב השני, מחשבים את מקדם המתאם ) מדד הקשר ( שבודק עד כמה קיים קשר לינארי בין שני המשתנים. המדד ) ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שניראה בשלב הראשון רק בעין. המדד בודק את כיוון הקשר ) חיובי או שלילי). ואת עוצמת הקשר ) חלש עד חזק). מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין - ל. מקדם מתאם -. y= bx+ a הנוסחה : או אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי מתאם חיובי מלא ) מקדם מתאם מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע ) אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע b יהיה חיובי ואילו b שלילי ) מקדם מתאם -). מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט. ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם רחוק מהאפס נאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר. מקדם המתאם יסומן באות r.